天全中学高三11月月考数学试题（理科）

注意：请同学们将试题的答案必须写在答题卷上，否则不给分！

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．设全集U=R，集合A={x|
}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（CUB）∩A=（ 　）

　 A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）

2．“
”是“
”的（　　）

　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

3．复数
，则复数
的虚部为（ ）

A．2 B．
C．
D．

4．设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知sinθ+cosθ=
，
，则sinθ﹣cosθ的值为（ 　）

　 A．
B．
C． ﹣
D． ﹣

7．函数
在
上为减函数，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．设等差数列
和等比数列
首项都是1，公差和公比都是2，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

9．函数
，给出下列结论正确的是:（ ）

A.
的最小正周期为
B.
的一条对称轴为

C.
的一个对称中心为
D.
是奇函数

10．函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
，若关于
的方程
恰有5个不同的实数解，则
的取值范围是（ ）

（A）（0,3） （B）（0,2） （C）（1,2） （D）（0,1）

12．已知函数
满足
且对于任意实数
都有：
，若
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．已知向量
=（
，1），
=（0，－1），
=（k，
）. 若
与
共线，则

k =______________

14．已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是 .

15．已知向量
与
的夹角为
，且
，则
的最小值为 ________

16．在
中，AB=AC=2,BC=
,D在BC边上，
求AD的长为____________

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）在等比数列
中，
.

求
； （2）设
，求数列
的前
项和
.

18．（12分）已知函数
，函数
的最大值为2.

(1)求实数
的值；

(2)在
中，角
所对的边是
，.若A为锐角，且满足
，
，
的面积为
，求边长
.

19.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点.

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M—BO—C的大小为60°，如存在，求
的值，如不存在，说明理由.

20．（12分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在为“老年人”.

（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；

（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

21.（12分）已知函数
(
为自然对数的底数)，
。

(1)若
，求函数
在
处的切线方程；

(2) 若
对任意
恒成立，求实数
的取值集合．

22．（12分）已知函数
（a∈R）．

（Ⅰ）当
时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2bx+4．当
时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．

天全中学高三11月月考数学参考答案（理科）

一、选择题：DBACBC BCDADA

12.提示：交换
的位置，由
两式相减得到

再令
，得：

所以，
时取等

二、填空题：

13． 1 14．
15．
16．

三、解答题

17．解:略

18．解：(1)∵f(x)＝2cos2 x＋2sin xcos x－m＝(cos 2x＋1)＋sin 2x－m

＝2sin＋－m.

∴函数f(x)在2x＋＝时取得最大值，即2＋－m＝2，解得m＝.……6分

(2)∵f(A)＝0，∴2sin＝0，∴sin＝0，由A为锐角，解得A＝.

∵sin B＝3sin C，由正弦定理得b＝3c，①∵△ABC的面积为，

∴S△ABC＝bcsin A＝bcsin ＝，即bc＝3.②由①和②解得b＝3，c＝1.

∵a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×cos，∴a＝.…………12分

19．解：(1)∵PA=PD O为AD中点 ∴PO⊥AD

又∵ABCD为菱形且∠DAB=60° ∴OB⊥AD

∵PO∩OB=O ∴AD⊥面POB

∵AD
面PAD

∴面POB⊥面PAD ……………………………6分

(2)∵面PAD⊥面ABCD且面PAD∩面ABCD=AD

∴PO⊥面ABCD

以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴

建立空间直角坐标系

∴O(0,0,0)、P(0,0,
)、B(0,
,0)、C(-2,
,0)

设
=
(0<λ<1) ∴M(-2λ,
λ,
(1-λ))

∵平面CBO的法向量为n1=(0,0,
)

设平面MOB的法向量为n2=(x,y,z) ……………………………………10分

∴
取n2=(
,0,
)

∵二面角M—BO—C的大小为60°

∴
=
解得λ=

∴存在M点使二面角M—BO—C等于60°，且
=
………………12分

解：（1）平均年龄

………………4分

（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率为
，所以该城市20-80年龄段市

民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的概率为
。又题意知，
，

所以
，
，

，

∴随机变量X的分布列如下表：

∴随机变量X的数学期望
.………12分

21.（12分）解：（1）
，有

，所以斜率为
，所以切线为
………………5分

（2）求导：
，令
，解得
，所以函数在
递增，
递减，所以在
，取得最小值

故
恒成立，等价于
，即
要成立。

令
，
，所以知
在
递增，
递减。

有
，所以当
时，
，

所以
时，
对任意
恒成立。

所以取值集合
。………………12分

22．解：（Ⅰ）
，

令h（x）=ax2﹣x+1﹣a（x＞0）

（1）当a=0时，h（x）=﹣x+1（x＞0），

当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

（2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax2﹣x+1﹣a=0，解得
．

当
时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；

当
时，
，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

当a＜0时
，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；

当
时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；

当
时，函数f（x）在（0，1）单调递减，
单调递增，
单调递减．………………6分

（Ⅱ）当
时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1∈（0，2），有
，

又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以
，x2∈[1，2]，（※）

又g（x）=（x﹣b）2+4﹣b2，x∈[1，2]

当b＜1时，g（x）min=g（1）=5﹣2b＞0与（※）矛盾；

当b∈[1，2]时，g（x）min=g（b）=4﹣b2≥0也与（※）矛盾；

当b＞2时，
．

综上，实数b的取值范围是
．………………12分

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