银川一中2016届高三年级第四次月考

数 学 试 卷（文）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，
，则集合
等于

A．
B．

C．
D．

2．命题“若x2+y2=0，x、y∈R，则x=y=0”的逆否命题是

A．若x≠y≠0，x、y∈R，则x2+y2=0 B．若x=y≠0，x、y∈R，则x2+y2≠0

C．若x≠0且y≠0，x、y∈R,则x2+y2≠0 D．若x≠0或y≠0，x、y∈R,则x2+y2≠0

3．直线
过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是

A．x2＝12y B．x2＝8y C． x2＝6y D．x2＝4y

4．已知四边形
的三个顶点
,
,
,且
,则顶点
的坐标为

A．
B．
C．
D．

5．函数
的零点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数

I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<
)的图象如图所

示,则当t=
秒时,电流强度是

A．-5安 B．5安 C．5
安 D．-10安

7．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为

A. －4 B.  C. 4 D. －

8．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是

A. 2 B.  C.  D．

9．若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

10．设F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使
且
的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为

A.
B.
C.2 D.5

11．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针

方向滚动，
和
是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，

当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点
在大圆内所绘出的

图形大致是

12．已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式

若
则
之间的大小

关系为

A. a>c>b B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数
满足
则
的取值范围是 .

14．设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),
≤x≤9,则f(x)的最小值为 .

15．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 .

16．如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连

接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,…,

如此继续,若共得到1023个正方形,设初始正方形的边长为

,则最小正方形的边长为　　　　.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos
，

(1)求△ABC的面积；

(2)若
，求a的值．

18．（本小题满分12分）

等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

（1）求an与bn；

（2）求＋＋…＋.

19．（本小题满分12分）

已知过抛物线
的焦点，斜率为
的直线交抛物线于
，
两点，且

（1）求该抛物线的方程；

（2）
为坐标原点，
为抛物线上一点，若
求
的值．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，点P到两点
，
的距离之和等于4，设点P的轨迹为
．

（1）写出C的方程；

（2）设直线
与C交于A，B两点．k为何值时


？此时
的值是多少？

21．（本小题满分12分）

设函数
，其中
．

(1)若函数
图象恒过定点P，且点P关于直线
的对称点在
的图象上，求m的值；

(2)当
时，设
，讨论
的单调性；

(3)在(1)的条件下，设
，曲线
上是否存在两点P、Q，

使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

已知
中，
，D是
外接圆劣弧

AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分
CDE；

（2）若
，
中BC边上的高为2+
，

求
外接圆的面积．

23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为
，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（1）若
，解不等式
；

（2）如果
，
，求
的取值范围．

银川一中2016届高三年级第四次月考数学（文）答案

一.选择题：

1.A 2.D 3.B 4.A 5.B 6. A 7. C 8. D 9.C 10.D 11.A 12.D.

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.
; 14. -
; 15. (2x－3)2＋4y2＝1; 16.
错误！未找到引用源。

三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （1）解：因为
，所以
，

．又由
，得
，所以
．

因此
．

（2）解：由（1）知
．又
，所以
．

由余弦定理，得
，所以
．………………12分

18. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.

依题意有
解得

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，……………………………………………………8分

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)

＝－.………………………………………………………………………12分

19.解：（1）直线
的方程是
，与
联立，

从而有
所以

由抛物线定义得

从而抛物线方程为
…

（2）由
，可得
，从而
代入
得

从而
分

设
，

又
即
.…

解得
…………………

20.（1）设P（x，y），由椭圆定义，点P的轨迹C是以
为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，故曲线C的方程为
…. 4分

（2）设
，其坐标满足

消去y整理得
，故
….. 6分

，即
．而
，

于是
．

所以
时，
，故
． 8分

当
时，
，
．

，

而

，

所以
． 12分

21.（1）令
，则
，

关于
的对称点为（1，0），

由题知
.

（2）
，定义域为
，

.

∵
则
，

∴当
时，

>0,此时
在
上单调递增，

当
时，由
得

由
得

此时
在
上为增函数，

在
为减函数，

综上当
时，
在
上为增函数，

时，在
上为增函数，在
为减函数.

（3）由条件（1）知
.

假设曲线
上存在两点
、
满足题意，则
、
两点只能在
轴两侧，

设
则

∵△POQ是以
为直角顶点的直角三角形，

∴
,即
.①

（1）当
时，

此时方程①为

化简得
.

此方程无解，满足条件的
、
两点不存在.

（2）当
时，
，方程①为

即

设
则

显然当
时
即
在(2，+∞)为增函数，

∴
的值域为
即(0，+∞)

∴当
时方程①总有解.

综上若存在
、
两点满足题意，则
的取值范围是(0，+∞).

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22. 解：（Ⅰ）如图，设
为
延长线上一点，

四点共圆，
．

又
，

且
．

对顶角
，故
．即
的

延长线平分
．

（2）设
为外接圆圆心，连接
交
于
，则
．连接
．由题意