河北正定中学高三年级第三次月考

数 学 试 题

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数
，则复数
的模是

A.
B.
C.
D.

2. 等比数列
中，
，则

A.
B.
C.
或
D.

3. 若命题
,命题
,则
是
的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知向量
，
，则
可以为

A．
B．
C．
D．

5. 命题“存在
使得
”的否定是

A.不存在
使得

B. 存在
使得

C.对任意
D. 对任意

6. 已知
，则
的值是

A.
B.
C.
D.

设
均为正实数，且
，则
的最小值为

A.4 B.
C.9 D.16

已知定义在
上的奇函数
满足①对任意的
都有
成立；②当
时，
，则
在
上根的个数是

A.
B.
C.
D.

9. 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将
的图象

A.向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

10. 已知数列
满足
，则

A.
B.
C.
D.

11. 已知
为
的外心，
,
，若
，且

，则

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
，其中
，存在
，使得
成立，则实数
的值为

A.
B.
C.
D.1

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知正方形
的边长为2，
为
的中点，则
__________．

14. 若
满足不等式组
，则
的最小值是__________．

15. 由直线
，曲线
以及
轴围成的图形的面积为__________．

16. 等差数列
的前
项和为
，已知
，且
，
，则
=__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设
的内角
的对边分别为
，若
，且
，求
及
的面积.

18.（本小题满分12分）

某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.

（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：件，
）的函数解析式；

（2）商店记录了50天该商品的日需求量
（单位：件），整理得下表：

若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润
的分布列及平均值.

19.（本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
，已知
，且
成等比数列，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
前
项和为
，求证
.

20. (本小题满分12分)

直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，
，
为棱
上的点．

（1）证明：
；

（2）是否存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
？若存在，说明点
的位置，若不存在，说明理由．

21. (本小题满分12分)

已知椭圆
过点
，离心率为
，点
分别为其左右焦点．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若
上存在两个点
，椭圆上有两个点
满足
三点共线，
三点共线，且
,求四边形
面积的最小值．

22. (本小题满分12分)

已知函数
.

(1)求函数
在区间
上的最值；

(2)若
（其中
为常数），当
时，设函数
的3个极值点为
，且
，证明：
.

高三期中考试数学试题参考答案

选择题： 1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA

填空题：13. 2 14.
15.
16.

17 解：

即

………………………4分

………………………5分

又
即

解得
………………………8分

………………………10分

18．解：（1）当
时，
，………2分

当
时，
，………4分

所以函数解析式
； …………6分

（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560.

其概率分别为
，…………8分

利润
的分布列为：

………10分

利润
的平均值为：

（元）………12分

19.解：（1）由已知得：
，又
，

，
………2分

当
时，

，
………4分

，

是首项为1，公差为2的等差数列；

是首项为2，公差为2的等差数列；…………6分

是首项为1，公差为1的等差数列，

.…………7分

（2）

………10分

.………12分

20.解: （1）证明：∵
，

又∵
∴
⊥面
.

又∵
面
，∴
，………………………………………2分

以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系
，

则有
，

………………4分

设
且
，即
,则
，

∵
，所以
；…6分

（2）结论：存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为

.........................7分

理由如下：

由题可知面
的法向量
…………………………………………8分

设面
的法向量为
，则
，

∵
，

∴
，即
，

令
，则
．………………………………………10分

∵平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，

∴
，即
，

解得
或
（舍），所以当
为
中点时满足要求．………………………12分

21.解：（1）由题意得：
，得
，

因为椭圆过点
，则
解得
所以
，

所以椭圆