南昌二中2015—2016学年度上学期第三次考试

高三数学（理）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知条件p：
；条件q：
，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是 （ ）

A . [21，＋∞) B. [9，＋∞) C.[19，＋∞) D.(0，＋∞)

3．在△ABC中，若点D满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设Sn为等比数列
的前n项和，
，则
＝ ( )

A. 11 B. 5 C.一8 D.一11

5． 等差数列{an}中，
{bn}为等比数列，且
，则
的值为 （ ）

A．4 B．2 C．16 D．8

6．函数
的图象大致为 （ ）

7． 等差数列{
}前n项和为
，满足
，则下列结论中正确的是（ ）

A ．
是
中的最大值 B．
是
中的最小值

C．
=0 D．
=0

8．若
，且
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若函数
的图像关于直线
,则
的最大值为 （ ）

A．2 B．
或
C．
D．

10．如图所示，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M,若

，

,则
的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．

11．
为参数，函数
是偶函数，则
可取值的集合是 （ ）

A．｛0，5｝ B．｛2,5｝ C．｛5，2｝ D．｛1,2015｝

12. 已知函数
,(a为常数且
)，若
在
处取得极值，

且
，而
上恒成立，则a的取值范围（ ）

A．
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

13．若
，
均为非零向量，且
，
，则
，
的夹角为 。

14．将函数
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到
的图象，则
。

15．已知函数
的定义域为
， 若
≥0恒成立，则a的值是 ．

16．等比数列
的公比为
，其前
项的积为
，并且满足条件
，

，
。给出下列结论：①
；②
，③

的值是
中最大的；④使
成立的最大自然数
等于198。

其中正确的结论是 .

三、解答题：（70分）

17．（本是满分10分）

已知等差数列
满足：
，
，其中
为数列
的前n项和.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，且
成等比数列，求
的值。

18．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数y = f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）当x ∈ ［0，
］ 时，函数 y = f（x）的最小值为
，试确定常数a的值．

19．（本是满分12分）

在△ABC中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，且

（Ⅰ）求cosB；

（Ⅱ）若AB＝2，点D是线段AC中点，且
，若角B大于600，求△DBC的面积。

20．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF//AB，AF⊥CF。

（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF//平面BDG；

（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值。

21．（本小题满分12分）

已知数列
、
满足：
，
，
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列｛
｝的前n项和
。

22．（本小题满分12分）

设
，函数
．

（Ⅰ）当
时，求
在
上的单调区间；

（Ⅱ）设函数
，当
有两个极值点

时，总有
，求实数
的值．

南昌二中2016届高三第三次考试

理科数学试题参考答案

一．选择题:CBDDC DDCBD CB

二：填空题：

13．
； 14．
； 15．
； 16．①②④

三：解答题

17解：（Ⅰ）设数列
的公差为d，由条件得

（Ⅱ）∵由（Ⅰ）易得
，∵

得
解得

18．

（1）由x +
∈［
－
，
＋
］（k∈Z）得

x∈［
－
，
＋
］（k∈Z）

∵
∴

∴ 函数y = f（x）的单调递增区间是

[
－
，
－
）∪ (
－
，
＋
］（k∈Z）．…9分

（2）当x∈［0，
］时，x +
∈［
，
］

∴当x +
=
时，函数y = f（x）取得最小值为
[:]

∴由已知得
=
， ∴ a = ±1 ．

19．（1）由
及
，得

，

∴
或

（2）在△ABC中，设BC=a，∵
，∴

∵
，∴

∴
，∴
，
即BC=3，

由（1）得△ABC的面积
，∴

20解（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，

∴OG//AF，∵AF
平面BDG，OG
平面BDC，∴AF//平面BDG。

（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ//AB//EF，∴M,Q,F,E共面。

作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN//FP且EN=FP，连接EM,FQ

∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ

∴△ENM≌△FPQ, ∴MN=PQ=1，∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ

又BC⊥MQ，FQ
MQ=Q，∴BC⊥平面MQEF, ∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD

以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系

则A(3，1，0),B(-1，1，0),C(-1，-1，0)，设F
，则
，

，∵AF⊥CF，∴
,解得h=2，

设平面ABF的法向量
，

由
令
，则

同理平面BCF的一个法向量为

∴

∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为
。

21．解（Ⅰ）∵
；
，
，∴

∴
，∴

∴
，∴

∴

（Ⅱ）∵
，∴

=

∴
+……

=

22. 解：（Ⅰ）当
时，
，

则
，令
，则
.

易知
在
上单调递减，又

所以
在
上单调递减，又因为
，

所以当
时，
，从而
，这时
单调递增，

当
时，
，从而
，这时
单调递减.

所以
在
上的增区间是
减区间是
…… 4分

（Ⅱ）由题可知
，则
.

根据题意方程
有两个不等实数根
且
，

令
得
，且
，所以

由
，其中
，

得
.将
代入左式得：
，整理得
.

即不等式
对任意
恒成立. ……7分

①当
时，得
②当
时，即

令
，易知
是
上的减函数，

所以
，所以

③当
时，即
.[:]

在
上也是减函数，
,所以

综上所述