2016届江西师大附中、九江一中第一次联考数学（理）试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）

1.设
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．正项等比数列
中，
是方程
的两根，则
的值是

A．2 B．3 C．4 D．5

3.函数
满足
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

4．曲线
在点
处的切线为
．若直线
与
，
轴的交点分别为
，
，则
（其中
为坐标原点）的面积为（ ）

A．
B．
C．2 D．

5．设命题甲：关于
的不等式
有解，命题乙：设函数
在区间
上恒为正值，那么甲是乙的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知
三点不在同一条直线上，
是平面
内一定点，
是
内的一动点，若
，则直线
一定过
的（ ）

A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

7．已知函数
（
）的导函数为
，若存在
使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．由
的图象向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到
的图象，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知实数变量
满足
且目标函数
的最大值为8，则实数
的值为( )

A.
B.
C.2 D.1

10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．2 D．

11．已知椭圆
和双曲线
焦点相同，且离心率互为倒数，
它

们的公共焦点，
是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当
时，则椭圆
的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．设函数
在
上存在导数
，
，有
，在
上
，若
，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知双曲线

（
，
）的离心率为
，则双曲线
的渐近线方程为 ．

14. (ABC中，||cos(ACB=||cos(CAB=，且·=0，则AB长为 ．

15. 正实数
满足
，则
的最小值为 ．

16. 四棱锥
底面是一个棱长为2的菱形，且(DAB=60o，各侧面和底面所成角均为60o，则此棱锥内切球体积为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知正项等比数列
满足
成等差数列,且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）设
,求数列
的前
项和
.

18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组
,...

第六组
,得到如右图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为
，求
的分布列和期望

19.如图, 已知四边形
和
均为直角梯形，
∥
，
∥
，且
，

平面
⊥平面
,

（Ⅰ）证明：AG
平面BDE;

（Ⅱ）求平面
和平面
所成锐二面角的余弦值.

20.如图，已知椭圆
的离心率为
，其左、右顶点分别为
.

过点
的直线
与该椭圆相交于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
与
的斜率分别为
.试问：是否存在实数
，使得
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．

21.已知函数
(其中
,且
为常数)

（Ⅰ）若对于任意的
,都有
成立,求
的取值范围;

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,若方程
在
上有且只有一个实根,求
的取值范围.

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（其中
为参数），点
是曲线
上的动点，点
在曲线
上，且满足
.

（Ⅰ）求曲线
的普通方程；

（Ⅱ）以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线
与曲线
、
分别交于
、
两点，求
.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设不等式
的解集为
,
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小.

评分参考

1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.A 12.B

13.
14.
15.9 16.

解析:

11. A 在椭圆
中
，在双曲线
中

所以
，即
，则

所以
，由题知
，则椭圆离心率

12. B 令
，

∴函数
为奇函数，

∵
时，
，函数
在
为减函数，

又由题可知，
，所以函数
在
上为减函数，

所以
则，
.即

17.已知正项等比数列
满足
成等差数列,且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）设
,求数列
的前
项和
.

【解析】（Ⅰ）设正项等比数列
的公比为

由
,因为
,所以
.

又因为
成等差数列,所以

所以数列
的通项公式为
.

（Ⅱ）(方法一)依题意得
,则
…………(

…………(

由(-(得

所以数列
的前
项和

(方法二)因为
,所以

18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组
,...

第六组