崇义中学2015年下学期期中考试高三文科数学试卷

时量：120分钟 总分：150分 考试时间：2015.11.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.集合
若
，则实数
的取值范围是 ( )

A. {
1} B．（—
，0） C．（1，+
） D．（0，1）

2.
，向量
与向量
的夹角为 ( )

A. 30° B．45° C．90° D．135°

3.已知
,且
，则
( )

A.
B.
C.
D.

4.数列
，点
在函数
的图象上，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

5.等差数列
，
是
的极值点，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

6.
，
在
内是增函数，则
是
的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7.复数
与复数
在复平面上的对应点分别是
、
，则
等于 ( )

A．
B．
C．
D．

8.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的

正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体

的表面积是 ( ) A． 92 B．
C． 80 D．

9.函数
的图象如图

所示,
·
( )

A．8 B． －8 ]C．
D．

10.定义运算
?
为执行如右图所示的程序框图输出的
值，

则
的值为 ( )

A．4 B．﹣4 C．
D．

11.正方形OABC的四个顶点
,

,
, 设
,
，是一个由平面
到平面
上的变换，则正方形
在这个变换下的图形是 （ ）

12.直角坐标平面上的点集
满足
=
，

将点集
中的所有点向
轴作投影，所得投影图形的长度为 （ ）

A．1 B．
C．
D．2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）

13．若变量
满足约束条件
，则
的最大值是

14．设
为定义在
上的奇函数，当
时，
（
为实常数），

则

15．设
,
，则函数
是减函数的概率为

16． 已知函数
的图象为曲线
，若曲线
存在与直线
垂直的切线，则实数
的取值范围为

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤）

17．在
中，角
的对边分别是
，
（1）求角
的大小；

（2）若
，
的面积为
,求
的值． （12分）

18．崇义县调研机构对该县工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:

月收入(单位:百元)















频数

5





10

5

5



频率

0.1





0.2

0.1

0.1



赞成人数

4

8

12

5

3

1



（1）若所抽调的50名市民中,收入在

的有15名,求
的值,并完成频率分布直方图;

（2）若从收入(单位:百元)在
的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人至少有

1人不赞成“楼市限购令”的概率. （12分）

19．如图1，在四棱锥
中，
底面
，面
为正方形，
为

侧棱
上一点，
为
上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（1）求四面体
的体积；（2）证明：
∥平面
. （12分）

20．已知数列
的前
项和为
,
，且
是
与
的等差中项.

（1）求
的通项公式；

（2）若数列
的前
项和为
,且对
,
恒成立,求实数
的最小值.

（12分）

21．已知函数
，
（其中
）．

（1）求函数
的极值；

（2）
在区间
内有
两个零点，求正实数
取值范围．[来源:Z+xx+k.Com]

（12分）

【选做题】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.【选修4-4:坐标系与参数方程】

以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．

已知直线
的参数方程为
（
为参数，
），曲线
的极坐标方程为
．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线
与曲线
相交于
两点，当
变化时，求
的最小值． （10分）

23.【选修4-5:不等式选讲】

已知函数
，且
的解集为
．

（1）求
的值；

（2）若
，且
，求证：
． （10分）

崇义中学2015年下学期期中考试高三文科数学参考答案

一、选择题（60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

A

C

A

A

B

B

C

C

D

D



二、填空题（20分）

13．512 14．
15.
16.

三、解答题 (70分)

17. 解：（1）（2a+c）cosB+bcosC=0．由正弦定理可得：

2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0， .....1分

化为2sinAcosB=﹣sin（C+B）=﹣sinA， .....3分

∵sinA≠0，∴cosB=﹣
，....4分 B∈（0，π）....5分． 解得B=
．.....6分

（2）∵a=3，△ABC的面积为
，∴
=
=
， .....8分

解得c=2．.....9分 ∴
=﹣cacosB=﹣2×3×
=3．.....12分

18.解: （1）由频率分布表得
,

即
.因为所抽调的50名市民中,收入(单位:百元)在
的有15名,所以
,

, .............3分

频率分布直方图如右: ..............5分

（2）设收入(单位:百元)在
的被调查者中赞成的分别是
,不赞成的分别是
,事件
:选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”, ......6分

则从收入(单位:百元)在
的被调查者中,任选2名的基本事件共有10个:

,

,
, .................................. 9分

事件
包含
,

,
..11分

所以,
故所求概率为
. ...............12分

19．（1）解：由左视图可得
为
的中点， ……1分

所以 △
的面积为
．………………2分

因为
平面
， ………………3分

所以四面体
的体积为

． ………………6分

（2）证明：取
中点
，连结
，
． ………………7分

由正（主）视图可得
为
的中点，所以
∥
，
．…………8分

又因为
∥
，
， 所以
∥
，
．

所以四边形
为平行四边形，所以
∥
． ………………10分

因为
平面
，
平面
， 所以 直线
∥平面
………12分

20.解：（1）因为
,所以
. ……1分

因为
是
与
的等差中项, 所以
, 即
.

所以
. ………………3分

所以
是以1为首项，2为公比的等比数列. ………………4分

. ………6分

（2）由（Ⅰ）可得：
. 所以
,
.

所以
是以1为首项,
为公比的等比数列. ………………8分

所以 数列
的前
项和
. ………………9分

因为
，所以
.

所以 若对
,
恒成立，则
.

所以 实数
的最小值为2. …………