2015—2016学年第一学期高三期中调研试卷

数 学 2015.11

注意事项：

1.本试卷共4页。满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

3.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）

1．设集合
，
，则
▲ ．

2．函数的
定义域是 ▲ ．

3．已知
，且
，则
＝ ▲ ．

4．定义在R上的奇函数
，当
时，
，则
＝ ▲ ．

5．函数
的值域是 ▲ ．

6．等差数列
中，前
项和为
，若
，则
▲ ．

7．设函数
，若
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

8．等比数列
的公比大于1，
，则
▲

9．将函数
的图象向右平移
个单位后，得到函数
的图象，若函数
是偶函数，则
的值等于 ▲ ．

10．已知函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，且函数
在区间
上是单调递增，则
的最大值等于 ▲

11．已知
，当
时，
恒成立，则
的最大值是 ▲ ．

12．
中，角
的对边分别是
，若
，则
▲

13．已知
，则
的最小值为 ▲

14．设
和
分别是函数
和
的导函数，若
在区间
上恒成立，则称函数
和
在区间
上单调性相反。若函数
与函数
在开区间
上单调性相反，则
的最大值等于 ▲

二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．(本题满分14分)

已知函数
的最小正周期为
．

（1）求函数
的表达式；

（2）设
，且
，求
的值；

16．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
，满足
，且
成等差数列。

（1）求
的值；

（2）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式。

17．(本题满分14分)

已知函数
。

（1）若函数
的定义域是
，求实数
的取值范围；

（2）当
时，恒有不等式
成立，求实数
的取值范围。

18．（本小题满分16分）

如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费
元，游轮每千米耗费
元．（其中
是正常数）设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．

(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；

(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？

19．（本小题满分16分）

设函数
，
．

（1）当
时，求函数
在
上的最大值；

（2）记函数
，若函数
有零点，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列
的奇数项是公差为
的等差数列，偶数项是公差为
的等差数列，
是数列
的前
项和，
，
．

（1）若
，
，求
；

（2）已知
，且对任意
，有
恒成立，求证：数列
是等差数列；

（3）若
（
），且存在正整数
（
），使得
．求当
最大时，数列
的通项公式．

2015—2016学年第一学期高三期中调研测试试卷

数 学 (附加) 2015.11

注意事项：

1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．

2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．

3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．(几何证明选讲)

（本小题满分10分）

如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．

B．（矩阵与变换选做题）

设曲线
在矩阵
（
）对应的变换作用下得到的曲线为
．求实数
的值．

C．（坐标系与参数方程选做题）

在直角坐标系
中，已知曲线
：
（
为参数）与曲线
：
（
为参数，
）有一个公共点在
轴上，
为曲线
上任一点，求
的取值范围．

D．（不等式选做题）

设
均为正数，且
，证明：
．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

如图，已知正方形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，
，
是线段
的中点．

（1））求二面角
的大小；

（2）试在线段
上确定一点
，使
与
所成的角是
．

23．(本小题满分10分)

设
．

（1）求
的展开式中系数最大的项；

（2）
，化简
；

（3）求证：
．

2015—2016学年第一学期高三期中调研试卷

数 学 2015.11

注意事项：

1.本试卷共4页。满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

3.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）

1．设集合
，
，则
▲ ．

2．函数的
定义域是 ▲ ．

3．已知
，且
，则
＝ ▲ ．

4．定义在R上的奇函数
，当
时，
，则
▲ ．

5．函数
的值域是 ▲ ．

6．等差数列
中，前
项和为
，若
，则
▲ ．

7．设函数
，若
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

8．等比数列
的公比大于1，
，则
▲

9．将函数
的图象向右平移
个单位后，得到函数
的图象，若函数
是偶函数，则
的值等于 ▲ ．

10．已知函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，且函数
在区间
上是单调递增，则
的最大值等于 ▲ ．

11．已知
，当
时，
恒成立，则
的最大值是 ▲ ．

12．
中，角
的对边分别是
，若
，则
▲ ．

13．已知
，则
的最小值为 ▲

14．设
和
分别是函数
和
的导函数，若
在区间
上恒成立，则称函数
和
在区间
上单调性相反。若函数
与函数
在开区间
上单调性相反，则
的最大值等于 ▲

二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．(本题满分14分)

已知函数
的最小正周期为
．

（1）求函数
的表达式；

（2）设
，且
，求
的值；

16．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
，满足
，且
成等差数列。

（1）求
的值；

（2）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式。

17．(本题满分14分)

已知函数
。

（1）若函数
的定义域是
，求实数
的取值范围；

（2）当
时，恒有不等式
成立，求实数
的取值范围。

18．（本小题满分16分）

如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费
元，游轮每千米耗费
元．（其中
是正常数）设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．

(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；

(2) 问：中转点D距