南昌二中2015—2016学年度上学期第三次考试

高三数学（文）试卷

一、选择题

1．已知R是实数集，M=
，则N
CRM=

A．（1,2） B．[0,2] C．
D．[1,2]

2．已知命题
：“
R，
”的否定是“
R，
”；命题
：函数
是幂函数，则下列命题为真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知sin θ＋cos θ＝
，
，则sin θ－cos θ的值为 （ ）．

A．
B．
C．
D．

4．已知
，
，
，则
的大小关系（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若将函数
的图象向右平移
个单位，得到的图象关于y轴对称，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知平面向量
，且
与
反向，则
等于（ ）

A．
B．
或
C．
D．

7．若不等式
对一切
恒成立，则实数
取值的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知一次函数
的图像经过点
和
，令
，记数列
的前项和为
，当
时，
的值等于（ ）

A.
B.
C.
D.
[:]

9．设向量
、
满足：
，
，
的夹角是
，若
与
的夹角为钝角，则
的范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，若
中，角C是钝角，那么（ ）

A．
B．

C．
D．

11．
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则函数
的零点的个数是

A．
B．
C．
D．

12．己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为
（x），满足
（x）

A．（-2，+
） B．（0．+
） C．（1,
） D．（4,+
）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项的和S18＝12，则数列
的前18项和T18的值是

14．函数
的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中m，n均大于0，则
的最小值为

15. 若函数
为
上的增函数，则实数
的取值范围是 ．

16.已知变量
满足约束条件
的最大值为5，且k为负整数，则k=____________.

三、解答题

17.（本小题满分10分）已知函数
的部分图象如图所示.（I）求函数
的解析式，并写出
的单调减区间；

（II）已知
的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且
的值.

18．（本小题满分12分）已知数列
，当
时满足
，

（1）求该数列的通项公式；

（2）令
，求数列
的前n项和
．

19．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为

，函数
的图象关于点
对称.

（I）当
时，求
的值域；

（II）若
且
，求△ABC的面积.

20．（本小题满分12分）已知等比数列
是递增数列，

，数列
满足
，且
（
）

（1）证明：数列
是等差数列；

（2）若对任意
，不等式
总成立，求实数
的最大值．

21. （本小题满分12分） 四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形.

（I）若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动，

是否总有BF丄CM，请说明理由.

(II)求三棱锥
的高.

22．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数h（x）的单调区间；

（Ⅲ）若
，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求
的取值范围．

高三第三次阶段性考试文科数学答案

一、选择题

1---5 D B B B A 6--10 D D A B A 11--12 C B

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．60 14．8 15.
16.
.

三、解答题

17.【答案解析】（I）
（II）

解析 ：解：（Ⅰ）由周期
得

所以
……2分

当
时，
，可得
因为
所以
故

由图象可得
的单调递减区间为
………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
, 即
,

又角
为锐角,∴
. …………8分

，
. ……………9分

…………10分

.

18．已知数列
，当
时满足
，

（1）求该数列的通项公式；（2）令
，求数列
的前n项和
．

【答案】（1）
；（2）
．

试题解析：（1）
当
时，
，则
，

作差得：
，
．

又
，知
，
，

是首项为
，公比为
的等比数列，
．

（2）由（1）得：
，

，

，
，

．

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为

，函数
的图象关于点
对称.（I）当
时，求
的值域；

（II）若
且
，求△ABC的面积.

20．（本小题满分12分）已知等比数列
是递增数列，

，数列
满足
，且
（
）（1）证明：数列
是等差数列；

（2）若对任意
，不等式
总成立，求实数
的最大值．

【答案】（1）详见解析（2）12．

试题解析：解（1）因为
，
，且
是递增数列，

所以
，所以
，所以

因为
，所以
，所以数列
是等差数列 ．

（2）由（1）
，所以

最小总成立，因为
，所以
或2时
最小值为12，

所以
最大值为12．

21. 四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形.

若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动，

是否总有BF丄CM，请说明理由.

(II)求三棱锥
的高.

21．解：（Ⅰ）总有
理由如下:

取
的中点
，连接
，

由俯视图可知，

，

，

所以
……………………2分

又
,所以
面
，

故
.

因为
是
的中点，所以
.…………………4分

又
故
面
，

面
，所以
. ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

，
,

又在正
ABC中，
,所以
, …………8分

在
中，
,在直角梯形
中，
,

在
中，
,在
中，

可求
,…10分

设三棱锥
的高为
，则
,

又
,可得
，解得
.

所以，三棱锥
的高为
. ……………………12分

22．已知函数
．（Ⅰ）当
时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数h（x）的单调区间；

（Ⅲ）若
，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求
的取值范围．

22. 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），

∴
，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，

∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ）
，定义域为（0，+∞），
，

①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，

∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．

②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，

综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．

当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，

即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，

即函数
在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．

由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，

∴
，∴
，∵
，∴
；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，

∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，

③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，

∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2

此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：
或a≤﹣2．