2015--2016学年度第一学期高三期中抽测数学试题

数学Ⅰ

参考公式：1.样本数据
的方差
其中

2.锥体的体积公式：
其中S是锥体的底面积，h是高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
则
▲ ．

2.若复数
为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为 ▲ ．

3．数据10，6，8，5，6的方差
▲ ．

4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1， 2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为
，则
为整数的概率是 ▲ ．

5．已知双曲线
的一条渐近线方程为
则
▲ ．

6．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．

7．底面边长为2，侧棱长为
的正四棱锥的体积为 ▲ .

8．在等比数列
中，若
则
▲

9．已知
则向量
的夹角为 ▲ ．

10.直线
被圆
截得的弦长为2，则实数
的值是 ▲ ．

11．将函数
则不等式
的解集为 ▲ ．

12．将函数
的图象向左平移

个单位，若所得图象过点
，则
的最小值为 ▲ ．

13．在
中，
角
的平分线与
边上的中线交于点
，若
则
的值为 ▲ ．

14．已知函数
为自然对数的底数），
若存在实数
，使得
且
则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在锐角△
中，角
所对的边分别为
且

求角
的大小；

若
为
的中点，求线段
的长.

16. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
与
交于点
且平面

平面
为棱
上一点.

求证：

若
求证：
平面

17.（本小题满分14分）

已知数列
满足
，且

若
求数列
的前
项和

若
求数列
的通项公式

18. （本小题满分16分）

如图，墙上有一壁画，最高点
离地面4米，最低点
离地面2米，观察者从距离墙
米，离地面高
米的
处观赏该壁画，设观赏视角

（1）若
问：观察者离墙多远时，视角
最大？

（2）若
当
变化时，求
的取值范围.

19. （本小题满分16分）

如图，椭圆
的上、下顶点分别为
，右焦点为
点
在椭圆
上，且

若点
坐标为
求椭圆
的方程；

延长
交椭圆
于点
，若直线
的斜率是直线
的斜率的2倍，求椭圆
的离心率；

求证：存在椭圆
，使直线
平分线段

20.（本小题满分16分）

已知函数

求证：函数
是偶函数；

当
求函数
在
上的最大值和最小值；

若对于任意的实数
恒有
求实数
的取值范围.

徐州市2015～2016学年度高三第一学期期中质量抽测

数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括
四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，
是⊙
的直径，
与⊙
相切于点
为线段
上一点，连结
分别交⊙
于
两点，连结
并延长交
于点
若
求线段
的长.

B.[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵
向量
，若
求实数
的值.

C.[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知直线
的参数方程为
为参数），以坐标原点为极点，
轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
若直线
与曲线
交于
两点，求线段
的长.

【选做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 .

求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；

记X为选出的4名选手的人数，求X的概率分布和数学期望.

23. （本小题满分10分）

已知抛物线

过点
，直线
过点
与抛物线
交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，连接
.

求抛物线
标准方程；

问直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

徐州市2015-2016学年度高三年级摸底考试

数学I参考答案及评分标准

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．

1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．

8．4 9．
10．
11．
12．
13．
14．

二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．

15．（1）由正弦定理，得
，　　　　　　　……………………………2分

因为b＝4，
，所以
，　　　　……………………………4分

又
，所以
．　　　　　　　　　　………………………………6分

（2）若b＝4，c＝6，由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋36－2×24×
＝28，

所以a＝
．　　　　　　　　　　　　　　　………………………………8分

又因为
，所以
，从而
，…………………10分

因为
为
的中点，所以
＝
＝
．

在
由余弦定理，得
，

即
，所以，
．…………14分

16．（1）因为平面

底面
，平面

底面
，
，

平面
，所以
平面
，又因为
平面
，

所以
．……………………6分

（2）因为
，
，
与
交于
，所以
，

又因为
，所以
，所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
．……………………14分

17．（1）当
时，
，即
，

所以，数列
是等差数列．……………………2分

设数列
公差为
，则
解得
……………4分

所以，
．…………6分

（2）由题意，
，即
，所以
．……………8分

又
，所以
，由
，

得
，

所以，数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．

所以
，……………………10分

当
时，有
，

于是，
，

，

…　

，

，

叠加得，
，

所以
，……………………13分

又当
时，
也适合．

所以数列
的通项公式为
．…………………14分

18．（1）当
时，过
作
的垂线，垂足为
，

则
，且
，

由已知观察者离墙
米，且
，

则
，…………2分

所以，

，

当且仅当
时，取“
”．…………………6分

又因为
在
上单调增，所以，当观察者离墙
米时，视角
最大．…8分

（2）由题意得，
，又
，

所以
，……………………10分

所以
，

当
时，
，所以
，

即
，解得
或
，……………………14分

又因为
，所以
，

所以
的取值范围为
．……………………16分

19．（1）因为点
，所以
，

又因为AF
OP，
，

所以，
，所以
，……………………………………2分

又点
在椭圆上，所以
，

解之得
．故椭圆方程为
．……………………………4分

（2）由题意，直线AF的方程为
，与椭圆
方程

联立消去
，得
，

解得
或
，所以
点的坐标为
，……………7分

所以直线
的斜率为
，

由题意得，