淮海中学2016届高三年级冲刺一统模拟试卷

数学 I

参考公式(1) 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．

(2) 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1. 已知集合
，
，则
　　▲　　．

2. 复数
的实部为　　▲　　．

3. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取　　▲　　名学生．

4. 从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为　　▲　　．

5. 函数
的图像中，离坐标原点最近的一条对

称轴的方程为　　▲　　．

6. 如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的

值为　　▲　　．

7. 等比数列
的公比大于1，
，

则
　　▲　　．

8. 在平面直角坐标系中，直线
被圆
截得的弦长为　　▲　　．

9.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的　　▲　　倍．

10.已知点
是函数
图像上的点，直线
是该函数图像在
点处的切线，则
　　▲　　．

11.设
为
中线
的中点，
为边
中点，且
，若
，则
　　▲　　．

12.已知函数
的图像经过点
，如右图所

示，则
的最小值为　　▲　　．

13. 已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的

解集为　　▲　　．

14.已知函数
是定义在
上的函数，且

则函数
，则在区间
上的零点

个数为　　▲　　．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本题满分14分）

已知
.

（1）求
的值；

（2）求
的值.

16．（本题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，

是棱
上的一点.

（1）求证：
；

（2）若
是
的中点，求证
∥平面
.

17．（本题满分14分）

设椭圆
的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点
，连接
并延长交椭圆于点
，过
三点的圆的圆心为
.

（1）若
的坐标为
，求椭圆方程和圆
的方程；

（2）若
为圆
的切线，求椭圆的离心率.

18．（本题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧
上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为
m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=
，试将运动休闲

区ABCD的面积S表示为
的函数，并求出S的最大值．

19．（本题满分16分）

若函数
在
处取得极大值或极小值，则称
为函数
的极值点.

已知函数
.

（1）当
时，求
的极值；

（2）若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.

20．（本题满分16分）

已知数列
中，
，在
之间插入1个数，在
之间插入2个数，在
之间插入3个数，…，在
之间插入
个数，使得所有插入的数和原数列
中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列
.

（1）若
，求
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
，且满足
为常数），

求
的通项公式.

淮海中学2016届高三年级11月考试卷

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．

21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.(选修4-1：几何证明选讲) （本小题满分10分）

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是
的平分线，
是下半圆的中点.

求证：直线PC经过点
.

B.(选修4-2：矩阵与变换) （本小题满分10分）

已知矩阵
，试求曲线
在矩阵
变换下的函数解析式.

C.(选修4-4：坐标系与参数方程) （本小题满分10分）

已知直线
的极坐标方程为
，圆
的参数方程为
为参数）.

（1）请分别把直线
和圆
的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线
被圆截得的弦长.

D.(选修4-5：不等式选讲) （本小题满分10分）

已知函数
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.

【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22.（本小题满分10分）

已知
为曲线
上的动点，定点
，若
，求动点
的轨迹方程.

23.（本小题满分10分）

已知四棱锥
的底面为直角梯形，
底面
,且
是
的中点.

（1）证明：平面
平面
；

（2）求
与
所成角的余弦值；

（3）求平面
与平面
所成二面角（锐角）的余弦值.

淮海中学2016届高三年级冲刺一统数学模拟试卷

参考答案与评分标准（I卷）

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

1.
； 2. -3； 3. 60； 4.
； 5.
； 6. 7； 7. 4

8. 2； 9.
； 10. 2； 11. 0； 12. 4.5 ; 13. [－1，＋∞); 14. 11

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 解：（1）由

得
，
………………………………………………2分，

……………………………………………………4分

………………………………………………………6分

（2）

………………………………………………………8分，

……………………………………………………10分

… ……………… 14分

16. （1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C，

又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，

∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM． ………………………………………………………… 6分

（2）解：取AB1的中点P，连接MP，NP，

∵P为A B1中点，N为AB中点，∴NP为△AB B1的中位线，∴NP∥B B1，

又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，∴MC∥B1B，

∴NP∥CM，∴NPCM共面，∴CN∥平面AB1M…………………………………… 14分

17. （1）因为三角形BFO为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF中点C，

由C点坐标为
得，
，所以

，

圆半径
，所以

椭圆方程为
，圆方程为
………………………4分

（2）由AD与圆C相切，得

BF方程为

由
得
……………………………………10分

得
，

，
………………………………………………14分

18. （1）设
，

在△
中，
，

即
， …………………2分

所以，
，

所以
，当且仅当m=n=50时，
取得最大值，此时

△
周长取得最大值．

答：当
都为50 m时，△
的周长最大． ……………………………………6分

（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．

过
作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，

则
分别为AB，CD的中点，

所以
，由

，得
． ……………………………………8分

在△
中，
．

又在△
中，
，故
． …………………………10分

所以，

?

，
．（不交代范围扣2分）12分

令
，
，

，
，

又y=
及y=
在
上均为单调递减函数，

故
在
上为单调递减函数．

因
＞0，故
＞0在
上恒成立，

于是，
在
上为单调递增函数． …………………………………………… 14分

所以当
时，
有最大值，此时S有最大值为
．

答：当
时，梯形
面积有最大值，且最大值为
m2．……………16分

19. 解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），

f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），

故f（x）=3xlnx﹣1在（0，
）上是减函数，在（
，+∞）上是增函数；

故f（x）在x=
时取得极小值f（
）=﹣3
﹣1；…………………………………………4分

（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），

f′（x）=3（ax2+lnx+1），

令g（x）=ax2+lnx+1，则g′（x）=2ax+
=
，

当a＞0时，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

故
=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函数，

而
=3[a（
）2+ln
+1]=3a（
）2＞0， …………………………………………6分

故当x∈（
，e）时，
＞0恒成立，

故
在区间（
，e）上单调递增，

故
在区间（
，e）上没有极值点； …………………………………………10分

当a=0时，由（1）知，
在区间（
，e）上没有极值点；

当a＜0时，令
=0解得，x=
；

故
=ax2+lnx+1在（0，
）上是增函数，在（
，+∞）上是减函数，…12分

①当g（e）?g（
）＜0，即﹣
＜a＜0时，

g（x）在（
，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，

②令g（
）=0得
=0，不可能； …………………………………………14分

③令g（e）=0得a=﹣
，所以
∈（
，e），

而g（
）=g（
）=
+ln
＞0，

又g（
）＜0，

所以g（x）在（
，e）上有且