盐城市2016届高三年级第一学期期中考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1．若集合
，
，且
，则实数
的取值范围

是 ▲ .

2．命题“
，
”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）

3. 设点
是角
终边上一点，若
，则
▲ .

4．函数
的单调递增区间为 ▲ .

5．若函数
的零点在区间
（
）内，则
= ▲ .

6．设函数
是奇函数，则实数
的值为 ▲ .

7．已知直线
过函数
（其中
）图象上的一个最高点，则
的值为 ▲ .

8．在锐角
中，
，
，
的面积为
，则
的长为 ▲ .

9．设向量
，
，则
的取值范围是 ▲ .

10．如图，在平行四边形
中，
，
，

点
是
边的中点，则
的值为 ▲ .

11．若函数
在
处取得极

大值，则正数
的取值范围是 ▲ .

12．设
是等比数列
的前
项和，
成等差数列，且
，

则
▲ .

13．已知数列
的前
项和
，若存在正整数
，使得
成立，则实数
的取值范围是 ▲ .

14. 设函数
，若
在区间
内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数
的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15. (本小题满分14分)

已知函数
.

（1）求
的最小正周期；

（2）若
，求
的值.

16．(本小题满分14分)

设集合
，集合
.

（1）若
，求
；

（2）设命题
，命题
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范围.

17. (本小题满分14分)

在
中，
分别为角
的对边，已知
，
.

（1）若
，求边
的长；

（2）若
，求
的值.

18．(本小题满分16分)

如图，河的两岸分别有生活小区
和
，其中
，
，
，
三点共线，
与
的延长线交于点
，测得
，
，
，
，
. 若以

所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系
，则河岸
可看成是曲线
（其中
为常数）的一部分，河岸
可看成是直线
（其中
为常数）的一部分.

（1）求
的值；

（2）现准备建一座桥
，其中
分别在

上，且
，设点
的横坐标为
.

①请写出桥
的长
关于
的函数关系式
，并注明定义域；

②当
为何值时，
取得最小值？最小值是多少？

19. (本小题满分16分)

已知函数
.

（1）求函数
的图象在
处的切线方程；

（2）若函数
在
上有两个不同的零点，求实数
的取值范围；

（3）是否存在实数
，使得对任意的
，都有函数
的图象在
的图象的下方？若存在，请求出最大整数
的值；若不存在，请说理由.

（参考数据：
，
）.

20. (本小题满分16分)

设各项均为正数的数列
满足
（
为常数），其中
为数列
的前
项和.

（1）若
，
，求证：
是等差数列；

（2）若
，
，求数列
的通项公式；

（3）若
，求
的值.

盐城市2016届高三年级第一学期期中考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.
2. 假 3.
4.
5. 1 6. 1 7. －1

8.
9.
10. 7 11.
12. 8 13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）因为
…………2分

， …………6分

所以
的最小正周期为
. …………8分

（2）因为
，所以
，即
， …………10分

所以
. …………14分

16．解：（1）解不等式
，得
，即
， ..............2分

当
时，由
，解得
，即集合
， ..............4分

所以
； ..............6分（2）因为
是
成立的必要不充分条件，所以集合
是集合
的真子集. ...............8分

又集合
，
， ..............10分

所以
或
， ..............12分

解得
，即实数
的取值范围是
. ...............14分

17．解：（1）在
中，因为
，所以
，

所以
， ...............2分

所以
， ...............4分

由正弦定理
，得
，所以
. ...............6分

（2）因
，得
①， ...............8分

由余弦定理，有
②，

①＋②，得
， ...............10分

再由余弦定理，有
，解得
， ...............12分

所以
，即
，所以
. ……………14分

（说明：其它方法类似给分）

18．解：（1）将
两点坐标代入到
中，得
， ……………2分

解得
. …………3分

再将
两点坐标代入到
中，得
， …………5分

解得
. …………6分

（2）①由（1）知直线
的方程为
，即
. …………7分

设点
的坐标分别为
，则利用点到直线的距离公式，

得
， …………9分

又由点
向直线
作垂线时，垂足都在线段
上，所以
，

所以
，
. …………10分

② 方法一：令
，因为
，

所以由
，解得
或
（舍）， …………12分

所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.

从而当
时，
取得最大值为
， …………14分

即当
时，
取得最小值，最小值为
. …………16分

方法二：因为
，所以
，

则
…………12分

，

当且仅当
，即
时取等号， …………14分

即当
时，
取得最小值，最小值为
. …………16分

方法三：因为点
在直线
的上方，所以
，

所以
，