江苏省扬州中学高三数学月考试卷

数　　学

(满分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，则M∩N＝ ．(0,1)

复数z＝为纯虚数，则实数a的值为 ．1

不等式|x＋1|·(2x―1)≥0的解集为 ． {x|x＝―1或x≥}

函数f (x)＝＋a（x≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x)为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．充要

m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必过定点_________．(9,－4)

向量a＝(1,2)、b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k＝_________．由题意知，a与b不共线，故k∶1＝1∶(－3)，∴k＝－

关于x的方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则实数a的取值范围是 ．[－4,4]

已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．4解：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4) (x＋2y＋8)≥0．又x＋2y＞0，∴x＋2y≥4．

已知点x,y满足不等式组，若ax＋y≤3恒成立，则实数a的取值范围是__________．(－∞,3]

已知△ABC是等边三角形，有一点D满足＋·＝，且||＝，那么·＝ ． 3

若函数f (x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_________．[,＋∞)解：f ?(x)＝2mx＋－2≥0对x＞0恒成立，2mx2＋1－2x≥0∴2m≥＝－＋，令t＝＞0∴2m≥－t2＋2t，∵max＝1，∴2m≥1，∴m≥．

已知函数f (x)＝，若
x1, x2∈R，x1≠x2，使得f (x1)＝f (x2)成立，则实数a的取值范围是 ． (－∞,4)

将y＝sin2x的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点，则φ的最小值为_______．解法一：点代入y＝sin(2x－2φ)∴sin(－2φ)＝∴－2φ＋＝2kπ＋或－2φ＋＝2kπ＋∴φ＝－kπ＋或φ＝－kπ∴φ的最小值为．解法二：结合函数y＝sin2x的图形．

已知函数f (x)满足f (x)＝f ()，当x∈[1,3]时，f (x)＝lnx，若在区间[,3]内，函数g(x)＝f (x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．,

二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（本小题满分14分）已知直线
和
．问：m为何值时，有：（1）
；（2）
．

解：（1）∵
，∴
，得
或
；

当m＝4时，l1：6x＋7y－5＝0，l2：6x＋7y＝5,即l1与l2重合，故舍去．

当
时，
即
∴当
时，
． ………7分

（2）由
得
或
；

∴当
或
时，
． ………14分

（本小题满分14分）已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f (x)的解析式；（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝，f (B)＝，求△ABC的面积．

解：（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ) ∵f ()＝sin(＋φ)＝，且0＜φ＜π ∴＜＋φ＜ ∴＋φ＝ 即φ＝ ∴f (x)＝sin＝cosx． ………6分

（2）∵f (A)＝cosA＝，f (B)＝cosB＝， ∴A,B∈(0,)

∴sinA＝，sinB＝ ………8分∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ ………10分∵在△ABC中＝ ∴b＝15. ………12分∴S△ABC＝absinC＝×13×15×＝84． ………14分

（本小题满分15分）已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120o，当k为何值时，（1）ka－b与a－kb垂直；（2）|ka－2b|取得最小值？并求出最小值．

解：（1）∵ka－b与a－kb垂直，∴(ka－b)·(a－kb)＝0．∴ka2－k2a·b－b·a＋kb2＝0．∴9k－(k2＋1)×3×2·cos120°＋4k＝0．∴3k2＋13k＋3＝0．∴k＝． ………7分（2）∵|ka－2b|2＝k2a2－4ka·b＋4b2＝9k2－4k×3×2·cos120°＋4×4＝9k2＋12k＋16＝(3k＋2)2＋12．∴当k＝－时，|ka－2b|取得最小值为2． ………15分

（本小题满分15分）如图①，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值．

解：（1）由已知可得△ABC为等边三角形，∵AD⊥CD，∴水下电缆的最短线路为CD.过D作DE⊥AB于E，可知地下电缆的最短线路为DE、AB. ………3分又CD＝1，DE＝，AB＝2，故该方案的总费用为1×4＋×2＋2×0.5＝5＋ （万元）． …………6分（2）∵∠DCE＝θ (0≤θ≤)∴CE＝EB＝，ED＝tanθ，AE＝－tanθ. 则y＝×4＋×2＋(－tanθ)×2＝2×＋2 ……9分令f (θ)＝ (0≤θ≤)则f ?(θ)＝＝ ，……11分∵0≤θ≤，∴0≤sinθ≤，记sinθ0＝，θ0∈(0,) 当0≤θ＜θ0时，0≤sinθ＜，∴f ?(θ)＜0当θ0＜θ≤时，＜sinθ≤，∴f ?(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0,]上单调递增．……13分∴f (θ)min＝f (θ0)＝＝2，从而ymin＝4＋2，此时ED＝tanθ0＝， 答：施工总费用的最小值为（4＋2）万元，其中ED＝. ……15分

（本小题满分16分）已知a为实数，函数f (x)＝a·lnx＋x2－4x．（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)＝2alnx＋x2－5x－，若存在x0∈[1, e]，使得f (x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．

解：（1）函数f (x)定义域为(0,＋∞)，f ?(x)＝＋2x－4＝假设存在实数a，使f (x)在x＝1处取极值，则f ?(1)＝0，∴a＝2， ……2分

此时，f ?(x)＝，∴当0＜x＜1时，f ?(x)＞0，f (x)递增；当x＞1时，f ?(x)＞0，f (x)递增．∴x＝1不是f (x)的极值点．故不存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值． ………4分（2）f ?(x)＝＝，①当a≥2时，∴f ?(x)≥0，∴f (x)在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a＜2时，令f ?(x)＞0，则x＞1＋或x＜1－，∴f (x)在(1＋,＋∞)上递增，∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋＜3，解得：6＜a＜2综上，a＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x0，使得
成立，即在[1,e]上存在一点
，使得
，即函数
在[1,e]上的最小值小于零．有
①当
，即
时，
在
上单调递减，所以
的最小值为
，由
可得
，因为
，所以
； ………12分②当
，即
时，
在
上单调递增，所以
最小值为
，由
可得
； ………14分③当
，即
时，可得
最小值为
，因为
，所以，
，故
此时不存在
使
成立．综上可得所求
的范围是：
或
． ………16分

解法二：由题意得，存在x∈[1, e]，使得a(lnx－)＞x＋成立．令m(x)＝lnx－，∵m(x)在[1, e]上单调递增，且m(1)＝－1＜0, m(e)＝1－＞0故存在x1∈(1,e)，使得x∈[1, x1)时，m(x)＜0；x∈(x1, e]时，m(x)＞0故存在x∈[1, x1)时，使得a＜成立，·························(☆)或存在x∈(x1, e]时，使得a＞成立，·························(☆☆) ………12分记函数F(x)＝，F ?(x)＝当1＜x≤e时，(x2－1)lnx－(x＋1)2＝(x2－1)·∵G(x)＝lnx－＝lnx－－1递增，且G(e)＝－＜0∴当1＜x≤e时，(x2－1)lnx－(x＋1)2＜0，即F ?(x)＜0∴F(x)在[1, x1)上单调递减，在(x1, e]上也是单调递减， ………14分∴由条件(☆)得：a＜F(x)max＝F(1)＝－2 由条件(☆☆)得：a＞F(x)min＝F(e)＝综上可得，a＞或a＜－2． ………16分

（本小题满分16分）已知常数a＞0，函数f (x)＝ax3－4(1－a)x，g(x)＝ln(ax＋1)－．（1）讨论f (x)在(0,＋∞)上的单调性；（2）若f (x)在上存在两个极值点x1、x2，且g(x1)＋g(x2)＞0，求实数a的取值范围．

解：（1）由题意可知：f ?(x)＝ax2－4(1－a)当a≥1时，f ?(x)＞0，此时，f (x)在区间(0,＋∞)上单调递增． 当0＜a＜1时，由f ?(x)＝0得：x1＝ （x2＝－＜0舍去）当x∈(0, x1)时，f ?(x)＜0；当x∈(x1,＋∞)时，f ?(x)＞0.故f (x)在区间(0, x1)上单调递减，在区间(x1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥1时，f (x)在区间(0,＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，f (x)在区间(0, )上单调递减，在区间(,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a≥1时，f ?(x)≥0，此时f (x)不存在极值点，因而要使得f (x)有两个极值点，必有0＜a＜1. 又∵f (x)的极值点只可能是x1＝和x2＝－，由g(x)的定义可知，x＞－且x≠－2，∴－＞－且x≠2解得：0＜a＜或＜a＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x1, x2分别是f (x)的极小值点和极大值点．而g(x1)＋g(x2)＝ln(ax1＋1)(ax2＋1)－－＝ln[a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1]－＝ln(2a－1)2－＝ln(2a－1)2－－2 ………10分令x＝2a－1，由0＜a＜且a≠知，当0＜a＜时，－1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1 ，记h(x)＝lnx2＋－2．①当－1＜x＜0时，h(x)＝2ln(－x)＋－2，设t＝－x∈(0,1)，?(t)＝2lnt－－2单调递增 ∴?(t)＜?(1)＝－4＜0∴h(x)＜－4＜0，故当0＜a＜时，g(x1)＋g(x2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x＜1时，h(x)＝2lnx＋－2，∴h?(x)＝－＝＜0，∴h(x)在(0,1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)＝0，故当＜a＜1时，g(x1)＋g(x2)＞0．综上，a的取值范围为． ………16分

附加题

(考试时间：30分钟 总分：40分)

2015.10

21.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分)

已知矩阵
（1）求
；（2）满足AX＝
二阶矩阵X

解：(1)
………5分

(2)
………10分

22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C所截得的弦长．

解：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，圆心为(1，1)，半径为，(3分)

直线的直角坐标方程为x－y－＝0，(5分)

所以圆心到直线的距离为d＝＝，(8分)

所以弦长＝2＝.(10分)

23.（本小题满分10分)

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC； AB⊥AC， （1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求