2016届第一学期期中考试

高三理科数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）

1．已知集合
，集合
，则
▲ ．

2．已知
是复数，
是虚数单位，若
，则
= ▲ ．

3．已知命题
则命题
的否定是 ▲ ．

4．函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 ▲ ．

5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数
的个数为 ▲ ．

6．已知
，则
▲ ．

7．若实数
，
满足约束条件
，则
的取值范围是 ▲ ．

8．已知向量
，设
，
，若
，则实数k的值为 ▲ ．

9．已知函数
的图象与直线
的三个交点的横坐标分别为
、
、
，其中
，那么
的值为 ▲ ．

10．已知
、
为正实数，且
，则
的最小值为 ▲ ．

11．设函数
，
，
，
，使得
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

12．已知非零向量
，
满足
，则
与
的夹角为 ▲ ．

13．已知定义在R上的奇函数
，设其导函数为
，当
时，恒有
，则满足
的实数
的取值范围是 ▲ ．

14．定义域为
的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
在R上至少有四个零点，则
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

在
中，
的对边分别为
，且
.

⑴ 求
的值;

⑵ 若
，
，求
和
.

16．（本题满分14分）

如图，在矩形
中，
，点
是
边的中点，点
在边
上．

⑴ 若
是对角线
的中点，
，求
的值；

⑵ 若
，求线段
的长．

17．（本题满分14分）

如图所示，AB是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD，设梯形ABCD的面积为
.

⑴ 设
，将
表示成
的函数关系式并写出其定义域；

⑵ 求梯形ABCD面积
的最大值.

18．（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系
中，点
在单位圆
上，
，且
．

⑴ 若
，求
的值；

⑵ 若
也是单位圆
上的点，且
．过点
分别做
轴的垂线，垂足为
，记
的面积为
，
的面积为
．设
，求函数
的最大值．

19．（本题满分16分）

已知点(p，q)是平面直角坐标系
上一点，
是方程
的两个实根，记
（表示
中的较大值）.

⑴ 过点
作抛物线L：
的切线交y轴于点B，对线段AB上的任一点Q(p，q)，求
的值；

⑵ 设
，当点(p，q)在区域D上运动时，求
的最小值和最大值.

20．（本题满分16分）

已知函数
．

⑴ 求
的单调区间；

⑵ 若
在
上的最大值是
，求
的值；

⑶记
，当
时，若对任意
，总有
成立，试求
的最大值.

高三理科数学参考答案及评分意见

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．
2．
3．

4．
5．2 6．
7．

8．
9．
10．
11．

12．
13．
14．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分）

15．（本小题满分14分）

解：⑴由正弦定理得
，
，
，

又
，∴
，…………………2分

即
，∴
， …………………4分

∴
，又
，∴
. …………………7分

⑵由
得
，又
，∴
…………………9分

由
，
可得
， …………………11分

∴
，即
，∴
. …………………14分

16．（本题满分14分）

【解】：⑴∵
，…………………4分

∴
…………………6分

∴
． …………………7分

⑵设

，则
，

∴
，

， …………………10分

又
，

∴
=
， ∴
， …………………12分

∴
，即DF的长为1． …………………14分

也可以建立平面直角坐标系，表示出
与
的坐标，阅卷根据情况酌情给分.

17．（本题满分14分）

解：⑴解：如图所示，以直径
所在的直线为
轴，线段
中垂线为
轴，建立平面直角坐标系，过点C作
于E，

∵
，∴
，
…………………2分

∴

…………………6分

(说明：若函数的定义域漏写或错误，则扣2分)

⑵(方法1)∴
，

令
，

则
，…………………10分

∴当
时，
，∴函数在(0，
)上单调递增，

当
时，
，∴函数在(
，1)上单调递减， ……………12分

所以当
时，
有最大值
，

答：梯形
面积的最大值为
平方米． …………14分

(方法2)
，………10分

∴当
时，
，∴函数在(0，
)上单调递增，

当
时，
，∴函数在(
，1)上单调递减，………………12分

所以当
时，
，

答：梯形ABCD面积的最大值为
平方米．…………………………14分

18．（本题满分16分）

解：⑴由三角函数的定义有
…………………2分

∵
，

∴
， …………………4分

∴

．…………………7分

⑵由
，得
．

由定义得
，
，又
，

于是，

，…………………10分

∴
=

=
=
=
…………………14分

，即
．…………………16分

19．（本题满分16分）

解：⑴
，直线AB的方程为
，

即
， …………………………2分.

，方程
的判别式
，

两根
或
， …………………………4分

，
，
． …………………………6分.

⑵解方程组
，得交点
，

可知
，
， …………………………8分

方程
的两根为
，

，
.…………………………10分

又
，即
，
，

当
时，
，
； …………………………13分

，
，

又
单调递增，
当
时，
，

． …………………………16分

20．（本题满分16分）

解：⑴
的定义域是
．
．

当
时，
，故
在
上是增函数； …………………………1分

当
时，令
，则
，
（舍去）

当
时，
，故
在