2016届第一学期期中考试

高三文科数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）

1．已知全集
，
，则
▲ ．

2．复数

是虚数单位
的实部为 ▲ ．

3．函数
的定义域为 ▲ ．

4．对任意非零实数
，若
的运算原理如右图程序框图所示，则
= ▲ ．

5．若
，
点的坐标为
，则
点的坐标为 ▲ ．

6．已知直线
平面
，直线
平面
，有下列四个命题：①若
，则
；②若
，则
；③若
，则
；④若
，则
.以上命题中，正确命题的序号是 ▲ ．

7．等比数列
的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为 ▲ ．

8．如右图，圆锥的底面直径
，母线长
，点
在母线
上，且
，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点
到达点
，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ▲ ．

9．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为
，
，
，且
，
，
成等差数列．若其对角线长为
，则
的最大值为 ▲ ．

10．设函数
的图象过点
和点
，当
时，
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

11．已知平面上三个向量
，
，
，满足
，
，
，
，则
的最大值为 ▲ ．

12．已知函数
，且函数
与
的图像关于点
对称，若
恒成立，则
的取值范围为 ▲ ．

13．若数列
满足
，则称数列
为凹数列．已知等差数列
的公差为
，
，且数列
是凹数列，则
的取值范围为 ▲ ．

14．设
是定义在
上的偶函数，
，都有
，且当
时，
，若函数

在区间
内恰有三个不同零点，则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知向量
，设函数
，且
的最小正周期为
．

⑴ 求
的单调递增区间；

⑵ 先将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间上
上的取值范围．

16．（本题满分14分）

在如图所示的几何体中， 四边形
是正方形，
面
，EF∥AD，且
，
，
.

⑴ 若
与
交于点
，求证: EO∥平面
；

⑵ 求证：
平面
.

17．（本题满分14分）

已知函数
，
（a为实数）．

⑴ 求
在区间
上的最小值
；

⑵ 若对任意
，都有
成立，求实数a的取值范围．

18．（本题满分16分）

如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为
，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段BD组成，其中D点在线段OB上(不包括端点)，且CD∥AO.设
.

⑴ 用
表示CD的长度，并写出
的取值范围；

⑵ 当
为何值时，观光道路最长？

19．（本题满分16分）

已知函数
，且定义域为
.

⑴ 求关于x的方程
在
上的解；

⑵ 若
是定义域
上的单调函数，求实数
的取值范围；

⑶ 若关于x的方程
在
上有两个不同的解
，求k的取值范围.

20．（本题满分16分）

已知非零数列
满足
，
.

⑴ 求证：数列
是等比数列；

⑵ 若关于
的不等式
有解，求整数
的最小值；

⑶ 在数列
中，是否存在首项、第
项、第
项
，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的
、
；若不存在，请说明理由.

高三文科数学参考答案及评分意见

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．
2．
3．

4．2 5．
6．①③ 7．－2或1

8．
9．2 10．
11．

12．
13．
14．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分）

15．（本小题满分14分）

解：⑴

， ………………………2分

又
，
， ………………………4分

故
的单调递增区间是
，………………………7分

⑵
……9分

， ………………………11分

，

，
的取值范围为
.…………14分

16．（本题满分14分）

证明：⑴如图，取
中点
，连
，
，

在
中，因为
分别是
的中点，

，且
，……………………2分

又由已知得，
，且
，

，
四边形
是平行四边形，

， ………………………5分

又
，
，

………7分

⑵设
，在四边形
中，
，
，
，
，
，即
，……………10分

又
面
，
面
，
，

又
，
面

， ………………………12分

，
，

平面
. ………………………14分

17．（本题满分14分）

解：⑴
， ………1分

①当
时，在区间
上
为增函数，

所以
………3分

②当
时，在区间
上
为减函数，在区间
上
为增函数，

所以
………5分

； …………6分

⑵由
，可得：

，

，

设
，则
，………………………8分

，

当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，

， ………………………10分

，
，
，

， ………………………12分

，故实数a的取值范围为
. ………………………14分

18．（本题满分16分）

解：⑴解：(1) 在△OCD中，由正弦定理，得
………2分

又CD∥AO，CO＝1，∠AOC
，

所以
，
. ………………………4分

因为OD＜OB，所以
，所以
.

所以
，θ的取值范围为
.………………………7分

⑵设道路长度为
，则

，

， ………………………9分

，………11分

由
，得
.又
，所以
.

当
时，
，∴函数在
上单调递增，

当
时，
，∴函数在
上单调递减 ，………………………14分

所以当
时，
达到最大值，观光道路最长．

答：当
时，观光道路最长． ………………………16分

19．（本题满分16分）

解：⑴
，
+3即

当
时，
，此时该方程无解………………2分

当
时，
，原方程等价于：
此时该方程的解为
.

综上可知：方程
+3在（0，2）上的解为
. ………………4分

⑵

，

………………5分

可得：若
是单调递增函数，则

………………7分

若
是单调递减函数，则

，

综上可知：
是单调函数时
的取值范围为
.………9分

⑶[解法一]：当
时，
，①

当
时，
，②

若k=0则①无解，②的解为
故
不合题意 ……………11分

若
则①的解为
，

（Ⅰ）当
时，即
时，方程②中

故方程②中一根在
内另一根不在
内，

设
，而
则

又
，故
， ……………… 13分

（II）当
时，即
或
时，方程②在
有两个不同解，而
，则方程②必有负根，不合题意. ……………… 15分

综上，
. ……………… 16分

法二、
，即
，
，

故整理得，
，

分析函数的单调性及其取值情况易得解（用图像法做，必须画出草图，再用必要文字说明）

利用该分段函数的图像得
.

20．（本题满分16分）

解：⑴由
，得