桂林市第十八中学13级高三第三次月考

文 科 数 学

命题人：秦芳军 审题人：霍荣友

考试时间 2015年11月07日15:00——17:00

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集
, 集合
,
, 则集合
可以表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 若复数
是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知等差数列
的首项
，且
是
与
的等比中项，则
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知命题
：
，
，命题
：
，，则下列说法中正确的是（ ）

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是假命题

5. 已知
，且
，则

A.
B.
C.
D.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知
，若
的最小值是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A. 14　　 B. 15 C. 16 D. 17

9．已知函数
的最小正周期为
，将函数
的图像向左平移
个单位后，得到的函数
（ ）

A．
B．

C．
D．

， 则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.如图过拋物线
的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，

若
，且
，则拋物线的方程为（ ）

A．
B
C．
D．
]

A.
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 已知函数
在
处的切线与直线
平行，则实数
__________.

14. 已知
，若
，则

15. 在边长为4的正方形ABCD内部任取一点
，则满足
为锐角的概率为 _________.

16.
是同一球面上的四个点,其中
是正三角形,
⊥平面
，
,则该球的表面积为_________.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

等级

优秀

合格

尚待改进



等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15



5



频数

15

3





（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下边
列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”．

男生

女生

总计



优秀









非优秀









总计











参考数据与公式：
，其中
．

临界值表：

0.1



















19.（本小题满分12分）

如图，已知
平面
，四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
，
，
，
．

（I）求证：
平面
；

（II）求三棱锥
的体积．

20. （本小题满分12分）

已知抛物线
：
的焦点到准线的距离为2。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）如图所示，直线
与抛物线
相交于
,
两点，
为抛物线
上异于
,
的一点，且

轴，过
作
的垂线，垂足为
,过
作直线
交直线BM于点
,设
的斜率分别为
，且
。

① 线段
的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;

② 求证:
四点共圆.

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求
在
处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，

①若函数
有且仅有一个零点时，求
的值；

②在①的条件下，若
，
，求
的取值范围。

请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）

22.选修4－1：几何证明选讲

　　如图所示，
为圆
的直径，
，
为

圆
的切线，
，
为切点.

　 （Ⅰ）求证：
；

　 （Ⅱ）若圆
的半径为2，求
的值.

23.选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知
，圆
上任意一点
，求△
面积的最大值.

24.选修4-5：不等式选讲

已知函数
的解集为

（Ⅰ）求k的值；

桂林市第十八中学高三第三次月考

文 科 数 学 答 案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．

1.答案：B

解析：有元素1，2的是
，分析选项则只有B符合。

2.答案：A

解析：
，所以
。

3.答案：A

4.答案：C

解析：命题
为真命题.命题
为假命题，
为真命题.所以C正确。

5.答案：A

6.答案：A

解析：该几何体是下面是一个三棱柱，

上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。

其体积为
。

7.答案：B

8.答案：C

9.答案：C　

解析：由程序框图可知，从
到
得到
，因此将输出

. 故选C

10.答案：D

11.答案：D

解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，

由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，

∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，

∵BD∥FG，∴
,求得p=
，

因此抛物线方程为y2=3x。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13答案：-2

14.答案：1

15.解析：如果
为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．要使
为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；

因为半圆的面积为
，正方形的面积为
，

所以满足
为锐角的概率
。

16.答案：32

解析：由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离

为球的半径，

AD=4，AB=2
，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2
。

所求球的表面积为：4
（2
）2=32
。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

18.解：（1）设从高一年级男生中抽出
人，则
，
，

∴

表2中非优秀学生共
人，记测评等级为合格的
人为
，尚待改进的
人为
，

则从这
人中任选
人的所有可能结果为：
，共
种．

设事件
表示“从表二的非优秀学生
人中随机选取
人，恰有
人测评等级为合格”，

则
的结果为：
，共
种．

∴
， 故所求概率为
． ………… 6分

男生

女生

总计



优秀

15

15

30



非优秀

10

5

15



总计

25

20

45



（2）
，

∵
，

所以不能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”。………… 12分

19.解： （I）过
作
，垂足为
，

因为
所以四边形
为矩形．

所以
，又因为

所以
，
，

所以
，所以
；

因为

平面
，
所以

平面
，所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． ………… 6分

（II）因为

平面
，所以
，

又因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
．

………… 12分

20.解: （Ⅰ）
………… 3分

（Ⅱ）①设
,则
,

直线
的方程为：
…………4分

由
消元整理可得：

所以
………… 5分

可求得：

直线
的方程为：
所以可求得
…………6分

所以
=
=
=4………… 7分

②
的中点
………… 8分

则
的中垂线方程为：

与BC的中垂线
轴交点为：
………… 9分

所以
的外接圆的方程为：

…………10分

由上可知

………… 11分

所以
四点共圆. ………… 12分

21.解：（Ⅰ）当
时，
定义域
，

，又

在
处的切线方程
…………5分

（Ⅱ）①令
，则

即

令
， 则

令
，
，

，
在
上是减函数

又
，所以当
时，
，当
时，
，

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，

，所以当函数
有且今有一个零点时，
………… 8分

（Ⅱ）②当
，
，若
只需证明

令
得
或
，又
，

函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增

又g（
）=-
e-3+2
，g（e）=2e2-3e

22.选修4－1：几何证明选讲

22.解：(I)连接
是圆
的两条切线，

，

,又
为圆
的直径，
，

,
,即得证，………… 5分

(II)
,
,
△
∽
△
，

。 ………… 10分

23.解：（I）圆
的参数方程为
（
为参数）

所以普通方程为
………… 5分

圆
的极坐标方程：

（II）点
到直线
：
的距离为
△
的面积

所以△
面积的最大值为
………… 10分

24.解：（Ⅰ）因为
，所以
等价于

由
有解，得
，且其解集为

又
的解集为
，故
………… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又
是正实数，

由均值不等式得

当且仅当
时取等号。

也即
………… 10分

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