罗定中学2016届高三期中检测卷

理科数学 2015.11

出题：刘家立 审题：陈贵昌

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.[:.]

1.设
，则
（ ）

A．（﹣1，﹢∞） B．（ ﹣∞，1 ］ C．（ ﹣1，1 ］ D．

2.已知复数
和复数
，则
为（ ）

A．1 B．
C．
D．

3．已知数列
成等差数列，数列
成等比数列，则
的值（ ）

A.
B. 3 C.
D. 6

4.已知焦点在
轴上的双曲线
的一个焦点
到其中一条渐近线的距离2，则
的值（ ）

A.
B.
C. 4 D. 无法确定

5.如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）

A.2 B.
C.
D. 3

6.已知
是两条不同直线，
是一个平面，则下列说法正确

的是（ ）

A.若
．b
，则
B.若
，b
，则

C.若
，
，则
D.若
，b⊥
，则

7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中有一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8、右图给出的是计算
的

值的一个程序框图，其中判断框内应填入

的条件是( )

A.

B.

C.
D.

9．若函数
，为了得到函数

的图象，则只需将
的图象( )

A．向右平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向左平移
个长度单位

10. 已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知直线
，若对于任意
,直线
与一定圆相切，则该定圆的面积为( )

A.
B.
C.
D.

12. 已知定义在R上的奇函数
，满足
恒成立，且
，则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在(
－
)5的展开式中
的系数为

14. 已知实数
满足约束条件
，则
的最大值是

15.设抛物线
上有两点
，其焦点为
，满足
,则
___________.

16.数列
的通项公式为
,其前
项和为
，则
_________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

在
中，
、
、
分别为内角
所对的边，且满足:

．

(Ⅰ) 证明：
；

(Ⅱ) 如图，点
是
外一点，设

，

，当
时，求平面四边形
面积的最大值．

18．（本小题满分12分）

已知数列
满足

.

（1）求数列
的通项公式
；

（2）令

，
，求证：
.

19．（本小题满分12分）

为了整顿道路交通秩序，我市考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：

处罚金额x（单位：元）

0

5

10

15

20



会闯红灯的人数y

80

50

40

20

10



（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差的绝对值是多少?

（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．

①求这两种金额之和不低于20元的概率；

②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

如图，
是圆
的直径，
是圆
上异于A、B的一个动点，
垂直于圆
所在的平面，
∥
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，求平面
与平面
所成的

锐二面角的余弦值．

21. （本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）设
，若函数
在定义域内存在两个零点，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
，
交
于点
．

（I）求证：
；

若
，
，
，
四点共圆，且
，求
．

23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆

，直线

（
为参数）．

（I）写出椭圆
的参数方程及直线
的普通方程；

（II）设
，若椭圆
上的点
满足到点
的距离与其到直线
的距离相等，求点
的坐标．

24（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（I）当
时，解不等式
；

（II）若
的解集为
，
，求证：
.

罗定中学2016届高三期中检测卷

参考答案

一、选择题：1～5：BADCC 6～10:CBAAC 11～12 DD

二、填空题：13.__－20___; 14.___－3____; 15.__9_____; 16.
_____.

三、解答题：

17.解：（1）证明：由已知得：

----2分

（4 分），

----6分

（2）由余弦定理得
----7分 ，

则
=
----10分

，当
即
时，
. ----12分

18. 解：（1）

，

两式相减得
，又
，

.……6分

（2）

……12分

19. 解：（Ⅰ）由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是
．---- 4分

（Ⅱ）①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有
种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为
． ---- 6分

②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35,分布列为

X

5

10

15

20

25

30

35



P（X）

















----10分

---- 12分

20.解：（1）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，

又∵AB是
的直径，∴AC⊥BC

AC∩DC=C，
面ACD，∴BC⊥平面ACD

又∵DC//EB，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，

∴DE//BC ∴DE⊥平面ACD. ……4分

（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系，

则

，…… 6分

设平面ADE的一个法向量
，则
，令
得
…8分

设平面ABE的一个法向量
，
，

令
得
，……10分

，

∴所求余弦值为
.……12分

21.解：（Ⅰ）
的定义域为

,
,
(1分)

,
(3分)

所以函数
在点
处的切线方程为
(5分)

（Ⅱ）
在定义域内存在两个零点，即
在
有两个零点。(6分)

令

ⅰ.当
时，

在
上单调递增

由零点存在定理，
在
至多一个零点，与题设发生矛盾。(8分)

ⅱ.当
时，
则











+

0







单调递增

极大值

单调递减



因为
，当
，
，所以要使
在
内有两个零点，则
即可(10分) ，得
，又因为
，所以

综上：实数
的取值范围为
.(12分)

或者用”参变分离”也可以.

22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC＝∠DAC，∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，

所以∠EDC＝∠DCB，

所以BC∥DE． …4分

（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED

由（Ⅰ）知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF．

设∠DAC＝∠DAB＝x，

因为＝，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，

所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，

在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝，

所以∠BAC＝2x＝． …10分

23、解：（Ⅰ）C：（θ为为参数），l：x－y＋9＝0． …4分

（Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ),则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离d＝＝．

由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝， cosθ＝－．

故P(－，)． …10分

24. 解：（1）当a=2时，不等式为