桂林市第十八中学13级高三第三次月考

理 科 数 学

命题人：秦芳军 审题人：霍荣友

考试时间 2015年11月07日15:00——17:00

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集
, 集合
,
, 则集合
可以表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 若复数
是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知等差数列
的首项
，且
是
与
的等比

中项，则
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 已知
，且
，则

A.
B.
C.
D.

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 有4名优秀学生
，
，
，
全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有

A．26种 B．32种 C．36种 D．56种

7.已知不等式组
构成平面区域
(其中
,
是变量)，则目标函数

的最小值为（ ）

A． -3 B．3 C．-6 D． 6

8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A. 14　　 B. 15 C. 16 D. 17

则
的取值范围是（ ）

A． [1，2] B．[0，1] C．[0，2] D． [﹣5，2]

10. 已知函数
的最小正周期为
，将函数
的图像向左平移
（
＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为
，则
的值不可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 如图过拋物线
的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，

若
，且
，则拋物线的方程为（ ）

A．
B
C．
D．
]

12. 已知
，函数
.记
为
的从小到大的第
个极值点，则数列
是（ ）

A．等差数列，公差为
B．等差数列，公差为

C．等比数列，公比为
D．等比数列，公比为

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 二项式
的展开式中的常数项是________.

14. 如图，设
是图中边长为4的正方形区域，
是
内函数
图象下方的点构成的区域.在
内随机取一点，则该点落在
中的概率为 .

15.
是同一球面上的四个点,其中
是正三角形,
⊥平面
，
,则该球的表面积为_________.

16. 已知数列
的前n项和
，若不等式
对
恒成立，则整数
的最大值为_________.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

如图，在海岛
上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站
，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的
处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的
处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的
处，问此时船距岛
有多远？

18.（本小题满分12分）

某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：

支持

不支持

合计



中型企业

80

40

120



小型企业

240

200

440



合计

320

240

560



（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？

（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。记
表示所发奖励的钱数，求
的分布列和数学期望：

附：

0.050

0.025

0.010





3.841

5.024

6.635





19.（本小题满分12分）

如图,四棱锥
,侧面
是边长为
的正三角形,且与底面垂直,底面
是

的菱形,
为棱
上的动点,且
(
)。

(Ⅰ) 求证:
；

(Ⅱ) 试确定
的值,使得二面角
的平面角余弦值为
.

20.（本小题满分12分）

已知抛物线
：
的焦点到准线的距离为2。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）如图所示，直线
与抛物线
相交于
,
两点，
为抛物线
上异于
,
的一点，且

轴，过
作
的垂线，垂足为
,过
作直线
交直线BM于点
,设
的斜率分别为
，且
。

① 线段
的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;

② 求证:
四点共圆.

21．（本小题满分12分）

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）

22.选修4－1：几何证明选讲

　　如图所示，
为圆
的直径，
为圆
的切线，
为切点.

　 （Ⅰ）求证：
；

　 （Ⅱ）若圆
的半径为2，求
的值.

23.选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知
，圆
上任意一点
，求
面积的最大值.

24.选修4-5：不等式选讲

已知函数
的解集为

（Ⅰ）求k的值；

桂林市第十八中学13级高三第三次月考

理 科 数 学 答 案

一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分

1.答案：B

解析：有元素1，2的是
，分析选项则只有B符合。

2.答案：A

解析：
，所以
。

3.答案：A

4.答案：A

5.答案：A

解析：该几何体是下面是一个三棱柱，

上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。

其体积为
。

6.答案：36

解析：先从4名优秀学生
，
，
，
中选出2名保送到甲，乙，丙3所学校中的某一所，有
种方案；然后将剩余的2名优秀学生保送到剩余的2所学校，有
种方案；故不同的保送方案共有
种。

7.答案：C

解析：不等式组
表示的平面区域如图阴影部分所示，

由限性规划知识可求答案。

8.答案：C　

解析：由程序框图可知，从
到
得到
，因此将输出

. 故选C。

9.答案：D

解析：∵D是边BC上的一点（包括端点），

∴可设

,
,
,

的取值范围是
。

10.答案：B

解析：
，故
，所以
，即
。将函数
的图片向左平移
（
＞0）个单位后得到
，因为函数
的一条对称轴为
。故
，解得
，观察可知，选B。

11.答案：D

解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，

由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，

∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，

∵BD∥FG，∴
,求得p=
，

因此抛物线方程为y2=3x。

12.答案：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.答案：45

解析：
，则
，故常数项为
。

14.答案：

解析：由几何概型得，该点落在
中的概率为

15.答案：32

解析：由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，

AD=4，AB=2
，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2
。

所求球的表面积为：4
（2
）2=32
。

16.答案：4

解析：当
时，
得
，
；

当
时，
，两式相减得
，得
，

所以
。

又
，所以数列
是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即
。

因为
，所以不等式
，等价于
。

记
，
时，
。

所以
时，
。

所以
，所以整数
的最大值为4。

17.解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° ,PA=1，∴AB=
(千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=
(千米)…………3分

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

　　…….6分

(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=

sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°
.

……….9分

在△ACD中，据正弦定理得
，　　

∴答：此时船距岛A为
千米………… 12分.

18.解：（Ⅰ）K2＝≈5.657，………… 4分

因为5.657＞5.024，

所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3，

按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．

设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为

（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，

X的可能取值为90，130，170，210．………… 7分

P(X＝90)＝＝， P(X＝130)＝＝，

P(X＝170)＝＝， P(X＝210)＝＝， ………… 9分(每两个1分)

分布列如下：

X

90

130

170

210



P











………… 10分

期望E（X）＝90×＋130×＋170×＋210×＝180 ………… 12分

19.解： (Ⅰ)取
中点
,连结
,依题意可知△
,△
均为正三角形,

所以
,
,又
,
,
平面
,

所以
平面
,又
平面
,所以
,

因为
,所以