荔湾区2015-2016学年第一学期高三调研测试（二）

数学（理科）

本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知i为虚数单位,复数
的虚部为（　　）

A．
B．
C．1 D．

2．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中,既是偶函数,又在
单调递增的函数是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，
，
，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

5．如图1，阅读程序框图，若输出的S的值等于55，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）

A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞11

6．从数字1、2、3、4、5、6中随机取出3个不同的数字构成一个三位数，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．等差数列
的前n项和为
，若当首项
和公差
变化时，
是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在数列
中，
，
，记
为
的前
项和，则
（ ）

A.－1008 B．－1007 C．－1006 D．－1005

9．有四个关于三角函数的命题:

:
,
;

:
;

:
,
;

:
.

其中真命题的个数是（ ）

A．4个 B．3个

C．2个 D．1个

10．某几何体的三视图如图2所示，则这个几何体外接球的表面积为（ ）

A．20π B． 40π C．50π D.60π

11．已知函数
有且仅有一个零点
,若
，则
的取值范围是（ ）

A.
B．
C.
D．

12．已知
，
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为
，则
( )

A．5 B．4 C．3 D．2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13--21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22--24题为选考题，考生根据要求作答。

填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)

13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，2),B(7，5),C在线段AB上，且满足
，则
的长等于________．

14．过点P（2，3）作圆
的切线，切点分别为
，则直线
的方程为_____________．

15．设
满足约束条件
,则
的取值范围是___ ___．

16．在
的展开式中，
的系数是__________．

三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）已知
分别为
三个内角
的对边，且满足
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
的面积为
，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）某售报亭每天以每份0.5元的价格从报社购进某日报，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩余报纸以每份0.1元的价格退回报社.售报亭记录近100天的日需求量,绘出频率分布直方图如图所示．若售报亭一天进货数为400份，以
（单位：份，
）表示该报纸的日需求量,
(单位:元)表示该报纸的日利润．

（Ⅰ）将
表示为
的函数；

（Ⅱ）在直方图的日需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 日需求量落入该区间的频率作为日需求量取该区间中点值的概率，求利润
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）如图3，在三棱柱
中，底面
为正三角形，且
，
,点
在下底面的射影是
的中心O．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知
的坐标分别为
，
.直线
相交于点
，且它们的斜率之积为
．

（Ⅰ）求点
的轨迹方程；

（Ⅱ）设
的坐标为
,直线
与直线
交于点
，当直线
绕点
转动时，试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．

21．（本小题满分12分）已知
为实数，函数
．

（Ⅰ）当
时，讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
，求证：
．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。作答时请用2B铅笔将所选题号后的方框涂黑，并在括号内写上该题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图4，圆O的直径AB＝8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若EC＝
，求PB的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中, 直线
经过点P(2,1),且倾斜角为45°,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线
的极坐标方程是
,直线
与曲线
在第一、四象限分别交于A、B两点．

（Ⅰ）写出直线
的参数方程,曲线
的普通方程；

（Ⅱ）求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若存在实数
，使得
，求实数
的取值范围．

2015-2016学年第一学期高三调研测试（二）

理科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

D

A

C

B

C

A

A

C

B

B





填空题(本大概题共4小题，每小题5分,共20分)

13.
14．
15.
16. 51

三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．解：⑴由正弦定理得
， …………1分

在
中，
， …………3分

， …………4分

又
，
， …………5分

又
． …………6分

⑵
， …………8分

由余弦定理得
， ………10分

当且仅当
时，“＝”成立，

为所求． …………12分

18解：（Ⅰ）当
时， …………1分

， …………3分

当
时， …………4分

， …………5分

∴
　　　　　　　　　　 　…………6分（Ⅱ）依题意，日需求量
可能值为200，300，400，500； …………7分

对应的
分别为：20， 110，200，200； …………8分

对应的
分别为：0.20, 0.35, 0.30，0.15. …………9分

故利润
的分布列为：

20

110

200





0.20

0.35

0.45





…………10分

∴
（元）?? …………12分

19. 证明：（1）∵点
在下底面上的射影是
, ∴
面
，

又
面
，∴

, …………1分

∵
为正
的中心，连接
，有
, …………2分

又
面
,
面
,且
,

∴
面
, …………3分

面
，∴
…………4分

（2）∵
为正
的中心，∴
,

在
中，又
∴
, …………5分

如图，以
直线为
轴，以
直线为
轴，以过
点垂直底面的直线为
轴建立空间直角坐标系，………6分

则
,
,
,

…………7分

则
,
,
………8分

设平面
的法向量为

，解得
…………9分

设平面
的法向量为

解得
…………10分

， …………11分

故所求二面角的平面角的余弦值为
. …………12分

解法2：∵
为正
的中心，∴
,

在
中，又
∴
, …………5分

如图，以
直线为
轴，以过
点平行
的直线为
轴，以
直线为
轴建立空间直角坐标系，………6分

则
,
,
,