荔湾区2015-2016学年第一学期高三调研测试（二）

数学(文科)

本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合
，
，则
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
为纯虚数，则实数
等于( )

A．0 B．1 C．
D．0或1

3．已知平面向量

，

，且
，则向量
( )

A.
B.
C.
D.

4．已知命题
：对任意
，总有
；命题
：
是方程
的根．则下列命题为真命题的是( )

A．

B．

C．

D．

5．如果执行如图1的程序框图，那么输出的值是（ ）

A．2015

B．

C．

D．2

6．当双曲线
不是等轴双曲线时，我们把以双曲线
的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线
的“伴生椭圆”．则离心率为
的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．随机地从区间
任取两数，分别记为
、
，则
的概率
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为
，则球的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．如图2，网格纸是边长为1的小正方形，在其

上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面

体的体积为（ ）

A. 4 B. 8

C. 16 D. 20

10．已知数列
的前
项和为
，且
，则满足不等式
的最小正整数
的值为（ ）

A．12 B．14

C．16 D．17

11．已知函数
的图象如图3所示，
，则
( )

A．
B．

C．
D．

12．已知
，若函数
只有一个零点，则k的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13--21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22--24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)

13．设等差数列
的前
项和为
，已知
，则
_________．

14．已知点P为抛物线
：
上的一点，F为抛物线
的焦点，若|PF|=1，则点P的纵坐标为 ______________．

15．已知奇函数
在定义域
上是减函数，且满足
，则
的取值范围为___________．

16．在如图4所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且

包括边界），若目标函数
取得最小值的最

优解有无数个，则
的最大值是 ____ ．

三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）在
中，角
所对的三边分别为
，
，且

（1）求
；

（2）求
的面积．

18．（本小题满分12分）如图5，三棱柱
中，

底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为
，

为
中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对
名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝
以上为“常喝”，体重超过
为“肥胖”．

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30



已知在全部
人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；

（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

参考数据：

0．100

0．050

0．025

0．010

0．005

0．001





2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828




,其中
为样本容量．

20．（本小题满分12分）已知椭圆

的焦距为
，且过点
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知
，是否存在
使得点
关于
的对称点
（不同于点
）在椭圆
上？若存在求出此时直线
的方程，若不存在说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数
,其中
为常数,且
．

（1）若曲线
在点（1，
）处的切线与直线
垂直，求
的值；

（2）求函数
在区间[1，2]上的最小值．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。作答时请用2B铅笔将所选题号后的方框涂黑，并在括号内写上该题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图6，圆O的直径AB＝8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．

（1）求证：
；

（2）若EC＝2
，求PB的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中, 直线
经过点P(2,1)，且倾斜角为45°,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线
的极坐标方程是
,直线
与曲线
在第一、四象限分别交于A、B两点.

（1）写出直线
的参数方程,曲线
的普通方程；

（2）求
的值.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）解不等式
；

（2）若存在实数
，使得
，求实数
的取值范围．

2015-2016学年第一学期高三调研测试（二）

文科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

A

A

C

D

C

B

C

D

A

D





二、填空题

13．20 14．
15．
16．

三、解答题

17．

解：（1） 由
得
． …………………… 2分

因为
，所以
，则
…………………… 4分

． …………………… 6分

（2）由
,
， …………………… 8分

解得

（舍）， …………………… 10分

故
． …………………… 12分

法二：因为
，所以
，则
．

， …………………… 8分

由
，得
…………………… 10分

……………………12分

18．

解：（Ⅰ）如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点， ………… 1分

∴BC1∥DE， …………………… 2分

平面
，
平面
, …………………… 3分

∴
∥平面
． ……………………4分

（Ⅱ）过点
作
，垂足为
， ……………………5分

∵三棱柱
的侧棱垂直于底面 ，

∴
， …………………… 6分

，
， ……………………7分

∴
平面
．
为三棱锥
的高 ……………………8分

， ……………………10分

． ……………………11分

∵
． ……………………12分

19．

解：（1）设全部30人中的肥胖学生共
名，则
，

∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名． ……………………2分

列联表如下：

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



不肥胖

4

18

22



合计

10

20

30



 ……………………4分

（2）∵
， ……………………6分

又
……………………7分

∴有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ……………………8分

（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为
，2名女生为
，则从中随机抽取2名的情形有
；
；
；
；
共15种， ……………………10分

其中一名男生一名女生的情形共有8种， ……………………11分

∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为
． ……………………12分

20．

解：（1）由已知，焦距为2c=
……………………1分

又
…………………… 2分

点
在椭圆C：
上，
………………3分

故，所求椭圆的方程为
…………………… 4分

（2）当k=0时，直线l：y=-1，点
不在椭圆上； ……………………5分

当k≠0时，可设直线
，即
………… 6分

代入
整理得
……………………7分

因为
，所以

若A,B关于直线l对称，则其中点
在直线y=kx-1上 ……… 9分

所以
，解得k=1因为此时点
在直线l上， ………11分

所以对称点B与点A重合，不合题意，所以不存在k满足条件． …………………12分

21．

解：（1）
（
） ……………………2分

因为曲线
在点（1，
）处的切线与直线
垂直，

所以
， ……………………3分

即
…………………… 4分

（2）当
时，
在（1，2）上恒成立，

这时
在[1，2]上为增函数 ……………………5分

……………………6分

当
时，由
得，
……………………7分

对于
有

在[1，a]上为减函数，

对于