2015—2016学年度第一学期中考试

高三数学（理科）试卷

命题人：李兴习 审题人：杨罡

一、单项选择题：(每小题5分，共60分)

1.已知集合
，
，下列结论成立的是

A．
B．
C．
D．

2.下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的是

A.
B.
C.
D.

3.已知平面向量
，
，若
，则
等于

A．
B．
C．
D．

4.在△ABC中，∠A＝
，AB＝2，且△ABC的面积为
，则边AC的长为

A. 1　　 B.
　　 C. 2　　 D. 1

5.
等于

A．1 B．
C．
D．

6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是

A.
x0∈R , f(x0)=0

B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞ , x0）单调递减

D. 若x0是f（x）的极值点，则

7.下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是

A．
B．

C．
D．

8.已知定义在
上的函数
（
为实数）为偶函数，记a=
,b=
,则a,b,c的大小关系为

A．
B. b

C.
D.

9.已知可导函数y=f(x)在点
处切线为
（如图），设F(x)=f(x)-g(x),则

A．
的极小值点

B．
的极大值点

C．
的极值点

D．
的极值点

10.定义：若函数f(x)的图像经过变换T后所得图像对应函数的值域与f(x)的值域相同，则变换T是f(x)的同值变换.下面给出的四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f(x)的同值变换的是

A．
，T：将函数f(x)的图像关于y轴对称

B.
，T：将函数f(x)的图像关于x轴对称

C.
，T：将函数f(x)的图像关于点（-1,1）对称

D.
，T：将函数f(x)的图像关于点（-1,0）对称

11.已知过点（1，2）的二次函数
的图象如右图，给出下列论断：①
，②
,③
，④
. 其中正确论断是

A． ①③ B. ②③

C. ②④ D. ②③④

12.定义在R上的奇函数
满足
，且不等式
在
上恒成立，则函数
=
的零点的个数为

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空题(每小题5分，共20分)

13. 函数
的定义域为 ．

14. 已知复数
（为虚数单位），计算：
．

15. 如图在平行四边形ABCD中,AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若

，则λ+μ=______.

16.求值:
=_______.

三、解答题(共6小题，满分70分)

17. (本小题满分10分) 等差数列
中，

(Ⅰ)求
的通项公式；

(Ⅱ)设

18. (本小题满分10分) 已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.

(Ⅰ) 若f(x)＝，求x的值；

(Ⅱ) 若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

19. (本小题满分12分) 已知向量
，
，函数
．

（Ⅰ）求
的最大值，并求取最大值时
的取值集合；

（Ⅱ）已知
、
、
分别为
内角
、
、
的对边，且
，
，
成等比数列，角
为锐角，且
，求
的值．

20. (本小题满分12分) 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在
上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC,

(Ⅰ)设AB=x米，cosA=
,求
的解析式，并指出x的取值范围;

(Ⅱ) 求四边形ABCD面积的最大值. ．

21. (本小题满分12分) 数列{
}的前n项和为
，
．

（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；

(Ⅱ)求数列
的前
项和Tn,并证明Tn
.

22. (本小题满分14分) 已知函数

(Ⅰ)当
时，求
的极值；

(Ⅱ)若
在区间
(其中e=2.71 828…)上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.

2015—2016学年度第一学期期中考试

高三数学（理科）试卷

参考答案

一、选择题：BDAAC, CDBAB,CB

二、填空题：

13.
; 14.
; 15.
; 16.
.

三、解答题

17．解:（I）设等差数列
的公差为
，则
.

因为
，所以
，解得
.

所以
的通项公式为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（II）因为

所以

。。。。。。。。。。。。。。。10分

18.解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；

当x≥0时，f(x)＝2x－，由2x－＝，

得2·22x－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝－，∵2x＞0，∴x＝1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故m的取值范围是[－5，＋∞)． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

19.解：（Ⅰ）

故
，此时
，得
，

∴取最大值时
的取值集合为
． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（Ⅱ）
，
，
，

，
．

由
及正弦定理得
于是

． .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

20.解:在ΔABD中，BD2=AB2+AD2-2AB×ADcosA,

同理在ΔCBD中，BD2=CB2+CD2-2CB×CDcosC,

因为∠A和∠C互补，

所以AB2+AD2-2AB×ADcosA= CB2+CD2-2CB×CDcosC= CB2+CD2+2CB×CDcosA

即x2+(9-x)2-2x(9-x)cosA=x2+(5-x)2+2x(5-x)cosA

得cosA=
,其中x∈(2,5) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)四边形ABCD的面积S=

=
=
=

记g(x)=(x2-4)(x-7)2, x∈(2,5)

由g/(x)=2x(x-7)2+(x2-4)×2(x-7)=2(x-7)(2x2-7x-4)=0,解得x=4(x=7和x=
舍去)

所以函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减；

所以g(x)的最大值为g(4)=12×9=108. 。。。。。。。。。。。。。10分

所以S的最大值为
.。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

答:所求四边形ABCD面积的最大值为
m2. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21．解:（I）因为
，

所以 ① 当
时，
，则
，

② 当
时，
，

所以
，即
，

所以
，而
，

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
．。。。。。。。。。4分

（II）由(1)得
.

所以 ①
，

②

②-①得：

=

因为Tn-Tn+1=
<0

所以数列{Tn}是单调递增数列故
，又
，故Tn<1

综上
，即Tn
. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

22.

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/