重庆南开中学高2016级高三（上）中期考试

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、公比为2的等比数列
的各项都是正数，且
，则
（ ）

A、1 B、2 C、4 D、8

3、已知向量
，若
，则实数
的值为（ ）

A、
B、
C、
D、

4、已知命题
，命题
在
上为减函数，则（ ）

A、命题
是假命题 B、命题
是真命题

C、命题
是真命题 D、命题
是假命题

5、设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A、
B、
C、
D、

6、已知圆
的半径为2，圆心在
轴的正半轴上，直线
与圆
相切，则圆
的方程为（ ）

A、
B、

C、
D、

7、函数
的最小正周期是
，若其图象向右平移
个单位长得到的函数为偶函数，则函数
的图象（ ）

A、关于点
对称 B、关于直线
对称

C、关于点
对称 D、关于直线
对称

8、等差数列
中，
，
是前
项之和，则下列说法正确的是（ ）

A、
均小于0，而
均大于0

B、
均小于0，而
均大于0

C、
均小于0，而
均大于0

D、
均小于0，而
均大于0

9、在
中，已知顶点
，直线
过点
，且过点
的直线
将
的面积分成相等的两部分，则边长
（ ）

A、10 B、
C、
D、

10、已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
。若不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

11、如图，正方形
的边长为2，
分别为边
上的动点，且
，则
的最小值为（ ）

A、
B、

C、4 D、

12、设二次函数
的导函数为
。若对
，都有
成立，则直线
与圆
的位置关系为（ ）

A、相交 B、相离 C、相交或相切 D、相离或相切

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相对应位置上。

13、过点
且垂直于直线
的直线方程为 。

14、已知向量
的夹角为
，
，则
。

15、已知圆
，点
在直线
上，过
作圆
的两条切线
（其中
为切点）。若存在点
，使得
，则
的取值范围为 。

16、已知实数
满足
，则
的最小值为 。

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）在数列
中，
，且
成公比不等于1的等比数列。

（1）求
的值；

（2）设
，求数列
的前
项和
。

18、（本小题满分12分）在
中，角
所对的边分别为
，
，
，且
。

（1）求角
的值；

（2）求
的取值范围。

19、（本小题满分12分）已知圆
，直线
。

（1）若直线
被圆
所截得的弦长为
，求实数
的值；

（2）若直线
与圆
相交于
两点，
为坐标原点，且
为锐角，求
的取值范围。

20、（本小题满分12分）已知
是函数
的一个极值点，其中
。

（1）求
的单调区间；

（2）当
时，函数
的图象上任意一点的切线斜率恒大于
，求
的取值范围。

21、（本小题满分12分）已知常数
，函数
，
。

（1）讨论
在
上极值点的个数；

（2）若
在
上存在两个极值点
，且
，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22、（本小题满分10分）选修4-4：几何证明选讲

已知
中，
，以点
为圆心，以
为半径的圆分别交
于
两点，且
为该圆的直径。

（1）求证：
；

（2）若
，求
的长。

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
和圆
交于
两点，
是圆
上不同于
的任意一点。

（1）求圆心的极坐标；

（2）求
面积的最大值。

24、（本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲

已知函数
的最小值为
。

（1）求
的值；

（2）若正实数
满足
，求证：
。

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