重庆市万州二中高2016级2014—2015学年上期期中考试

文科数学试题

（总分：150分 考试时间：120分钟）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

注意事项：

1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3． 答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5． 考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题：共６0分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项是正确的.）

1.在复平面内，复数
对应的点的坐标为（ ）

A．（-1，1） B.（1，1） C.（1，-1） D.（-1，-1）

2.已知一组正数
的平均数为2，则数
的平均数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

3.如图，执行程序框图后，输出的结果为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．32

4.已知数列{an}满足
，若
，则
（ ）

A.1 B. 2 C. 3 D.

5.平面向量
与
的夹角为60°，
=(2,0)，
=1，则
等于（ ）

A.
B.
C. 4 D.

6.以双曲线
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

7.函数
在
上的图象大致为（ ）

A B C D

8. 已知实数
满足
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．-2 B．-3 C．-4 D．-5

9.已知函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，下列关于函数
的说法正确的是（ ）

A．图象关于点
中心对称 B．图象关于
轴对称

C．在
单调递减 D．在区间
单调递增

10.设
，
，
，则下列关系中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.三棱锥
的四个顶点均在同一球面上，其中
是正三角形，
平面
，
，则该球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知点
分别是函数
与函数
图象上的动点，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题：共９0分）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分.）

13.已知全集
，则
__________

14.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是__________

15.已知双曲线
的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为__________

16.函数
，其中
，若动直线
与函数
的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为
，则
是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”__________．

三、解答题（本大题共6题，共70分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）

17.（本小题满分10分）已知等差数列
满足：
.

⑴求
的通项公式；

⑵若
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）在三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，且三角形的面积为
.

(1)求角
的大小

(2)已知
,求
的值

19.（本小题满分12分）从某校高三学生中抽取
名学生参加数学竞赛，根据成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学生人数是27人.

⑴求
的值;

⑵若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.

20.（本小题满分12分）在四棱锥
中，
，

平面
，
为
的中点，
，
．

(1) 求四棱锥
的体积
；

(2) 若
为
的中点，求证：平面
平面
．

21．（本小题满分12分）已知椭圆E的两个焦点分别为
和
，离心率
.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线
与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值.

22．（本小题满分12分）已知函数
．

(1) 当
时，求函数
的极值；

(2) 设函数
，求函数
的单调区间；

(3) 若
，当
时，函数
的图像恒在函数
图像的上方，求
的取值范围．

重庆市万州二中高2016级2014—2015学年上期期中考试

文科数学试题答案

ACBCA ADBDC DB

13.
14.
15.
16.

16. 【答案】由
得
.结合图像可知，当有三个交点是则有
.不妨设
,则由
得
，由
得
，所以
.又
，

当且仅当
时取“=”.故答案为

17. 解： ⑴由条件知：

故
的通项为
…………5分

⑵

故
…………10分

18. 解：(1)在三角形ABC中
,由已知
可得

0﹤
﹤

-------------6分

(2)

由正弦定理可得

--------------12分

19. 解： ⑴成绩在区间
的频率是：

1 (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，

∴
人．…………5分

⑵成绩在区间
的学生人数是：50×0.04=2人，

成绩在区间
的学生人数是：50×0.06=3人，

设成绩在区间
的学生分别是A1，A2，成绩在区间
的学生分别是B1，B2，B3，

从成绩在
的学生中随机选取2人的所有结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，

(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种情况．

至少有1人成绩在
内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种情况．

∴ 至少有1人成绩在
内的概率P=
．…………12分

20.解：(1)在
中，
，
，

∴
…………2分

在
中，
，
，

∵
,

………………………………………………………6分

证: (2)∵
， ∴

又
，
∴
，

∵
，∴
//

∴

，∴
………12分

21．解：（1）根据题意得
解得

所求椭圆方程为
…………4分

（2）解：设
连立方程组

化简得：

有两个不同的交点
,即
且

由根与系数的关系得

设A、B中点为C，C点横坐标

线段AB垂直平分线方程为

T点坐标为
,T到AB的距离

由弦长公式得：

=

当
即

时等号成立
…………12分

22、解：（Ⅰ）当
时，
，
，

由
得
,
得

在
处取得极小值
.

曲线
在点
处的切线方程为：
………3分

（Ⅱ）
，定义域为
，

?①当
时，令
，
;令
，

②当
时，
恒成立.

综上：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．

当
时，
在
上单调递增．…………7分

（Ⅲ）由题意可知：原命题等价于当
时，
>
恒成立。即函数
在
时的最小值
.

由第（Ⅱ）问知：①当
时，
在
上单调递减，

，解得

②当
时，
在
上单调递增，

，解得

③当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．

即
恒成立.

此时解为
.综上可得所求
的范围是：
．…………12分

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