2016届福建省福州格致中学校内高三第一学期期中考试

数学试卷

注意事项：

1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内

3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整

4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）

1.已知角α的终边在第二象限，且sinα=
，则tanα等于( )

A．
B．﹣
C．
D．﹣

2.下列三个数：a=ln
﹣
，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是( )

A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c

3．已知函数
是幂函数且是
上的增函数,则
的值为（ ）

A．2 B．-1 C．-1或2 D．0

4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　 　)

A．f

5．函数
的单调减区间为 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值（ ）

A．
B.

C.
D.

7．已知函数
，则
等于（ ）

A．-1 B.0 C. 1 D. 2

8．tan70°cos10°(1－tan20°)的值为(　 　)

A．－1 B．1 C．－2 D．2

9．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)

A. B. C. D.

10．.已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（ ）

A．(－∞，0) B. C．(0，1) D．(0，＋∞)

11. 设
且
则 （ ）

A．
B.
C.
D.

12. 已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，

若
，
，则实数
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 （90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13.计算定积分
__________

14..设
上的奇函数，且
，则不等

式
的解集为

15.对于函数
给出下列四个命题：

①该函数是以
为最小正周期的周期函数

②当且仅当
时，该函数取得最小值是-1

③该函数的图象关于直线
对称

④当且仅当
时，

其中正确命题的序号是 （请将所有正确命题的序号都填上）

16. 已知函数
与
图象上存在关于
轴对称

的点，则
的取值范围是__________________________.

三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.(本小题满分10分)

已知函数
，
，且
.

（1）求
的值；

（2）若
，
，求
.

18. .(本小题满分12分)

已知函数

(1)设ω＞0为常数，若
在区间
上是增函数，求ω的取值范围；

(2)设集合
，
,若A?B，求实数m的取值范围.

19．(本小题满分12分)

若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

20．(本小题满分12分)

设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；

(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．

21．(本小题满分12分)

函数
的图象上有两点A（0，1）和B（1，0）

（Ⅰ）在区间（0，1）内，求实数a使得函数
的图象在x=a处的切线平行于直线 AB；

（Ⅱ）设m>0，记M（m，
），求证在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数

图象在x=b处的切线平行于直线AM.

22.(本小题满分12分)

已知函数
．

（I）若函数
在区间
上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数
的

取值范围；

（II）若
，设
，求证：当
时，

不等式
成立．

参考答案

一.选择题: DABCB ADBCB CB

二.填空题: 13.
14.
15. ③④ 16.

17．（1）
………………4

（2）
………………10

18．解：(1)f(x) =
……………………2

∵f(ωx)=2sinωx+1在
上是增函数.

∴
，

即
…………………………………………………6

(2)由|f(x)-m|＜2得：-2＜f(x)-m＜2,

即 f(x)-2＜m＜f(x)+2.

∵A?B,∴当
时，f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立

∴
……………………………………………9

又
时，

,

∴m∈(1，4)……………………………………………………………………12

19. 解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x，

则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，

即2ax＋a＋b＝2x，

所以解得

因此，f(x)＝x2－x＋1…………………………………………………………….6

(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，

由－m－1>0得，m<－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．……………………………….12

20. 解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1…………………………………………………2

(1)∵f(1)>0，∴a－>0，

又a>0且a≠1，∴a>1，f(x)＝ax－a－x，

∵f′(x)＝axln a＋a－x ln a＝(ax＋a－x)·ln a>0，

∴f(x)在R上为增函数．……………………………………………………………4

原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，

∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，

∴x>1或x<－4，

∴不等式的解集为{x|x>1，或x<－4}．…………………………………….6

(2)∵f(1)＝，∴a－＝，

即2a2－3a－2＝0，

∴a＝2或a＝－(舍去)，…………………………………………………8

∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.

令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，

即t(x)≥t(1)＝，

∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，

∴当t＝2时，w(t)min＝－2，

此时x＝log2(1＋)．

即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2…………………………………………………………12

21. （Ⅰ）解：直线AB斜率kAB=－1

令

解得
…………………………………………………………………………4

（Ⅱ）证明：直线AM斜率

考察关于b的方程

即3b2－2b－m2+m=0

在区间（0，m）内的根的情况

令g(b)= 3b2－2b－m2+m，则此二次函数图象的对称轴为

而

g(0)=－m2+m=m(1－m)

g(m)=2m2－m－m(2m－1) ………………………………………………………8

∴（1）当
内有一实根

（2）当
内有一实根

（3）当
内有一实根

综上，方程g(b)=0在区间（0，m）内至少有一实根，故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM …………………………………………………12

22．解：（I）
，

∵函数
在区间
上都是单调函数且它们的单调性相同，

∴当
时，
恒成立，

即
恒成立，

∴
在
时恒成立，或
在
时恒成立，

∵
，∴
或
……………………………………6

（II）
，

∵
定义域是
，
，即

∴
在
是增函数，在
实际减函数，在
是增函数

∴当
时，
取极大值
，

当
时，
取极小值
，

∵
，∴

设
，则
，

∴
，∵
，∴

∴
在
是增函数，∴

∴
在
也是增函数

∴
，即
，

而
，∴

∴当
时，不等式
成立． ……………………………12

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