兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题

数 学 (理)

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡.

第I卷(共60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合A=
则（CRA）
B= ( )

A．
B．
C．
D．

2．若
，
，
，则 ( )

A．
B．
C．
D．

3．设曲线y＝
在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于 ( )

A．2 B． C. －2 D．－

4. 已知函数f(x)=
，则f = ( )

A．
B．-
C．1 D． -1

5．下列说法中，正确的是 ( )

A．命题“若a

B．设( ,(为两个不同的平面，直线l((，则“l(( ”是 “((( ” 成立的充分不必要条件

C．命题“存在x(R，x2-x>0”的否定是“对任意x(R，x2-x<0”

D．已知x(R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

6. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为 ( )

A． B. － C．－ D. 

7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于 ( )

A．1 B.  C.  D. 

8．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝ ( )

A．-1 B．1 C．
D．e2

9．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为 ( )

A.
B.
C.
D.

10．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．1

11. 设函数
的图象关于直线x=
对称,相邻两个对称中心之间的距离为
,则 ( )

A．f(x)的图象过点(0,
)

B. f(x)在[
,
]上是减函数

C. f(x)的一个对称中心是(
,0)

D. 将f(x)的图象向右平移
个单位得到函数
的图象

12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a

A．f(0) f(1)>0 B．f(0)f(3)>0 C．f(0)f(2)>0 D．f(0)f(3)<0

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，则a·b＝ ．

14．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则

点M恰好取自阴影部分的概率是 ．

15．已知0<β<
<α<π，且cos(α-
)＝－，sin(
-β)＝
，则cos(α＋β) =_____．

16．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，已知asinA-csinC=(a-b)sinB, △ABC外接圆的半径为
.

（1）求C；

（2）求△ABC的面积S的最大值.

18.（本小题满分12分）

在三棱锥M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB=
，AB=4AN，AB(AC，平面MAB(平面ABC，S为BC的中点.

(1) 证明：CM(SN；

(2) 求SN与平面CMN所成角的大小.

19．(本小题满分12分)

某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数

分组

低碳族的人数

占本组的频率



第一组

[25,30)

120

0.6



第二组

[30,35)

195

p



第三组

[35,40)

100

0.5



第四组

[40,45)

a

0.4



第五组

[45,50)

30

0.3



第六组



15

0.3





(1)补全频率分布直方图并求n、a、p的值；

(2)从，使 2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，

已知AC=AB.

(1) 若CG=1，CD=4，求
的值;

(2) 求证：FG//AC.

23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为(=6sin(.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）若点P（1,2）,设圆C与直线l交于点A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲

设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.

(1)证明：
;

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．

兰州一中2015-2016-1学期期中考试参考答案

高三数学（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合A=
则（CRA）
B= ( )

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】
，所以
.

2．若
，
，
，则 ( )

A．
B．
C．
D．

【答案】A

3．设曲线y＝
在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于 ( )

A．2 B． C. －2 D．－

【答案】C

【解析】　因为y＝的导数为y′＝，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k＝－，

又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·(－)＝－1，解得a＝－2.

4. 已知函数f(x)=
，则f = ( )

A．
B．-
C．1 D． -1

【答案】D

【解析】
，所以
.

5．下列说法中，正确的是 ( )

A．命题“若a

B．设( ,(为两个不同的平面，直线l((，则“l(( ”是 “((( ” 成立的充分不必要条件

C．命题“存在x(R，x2-x>0”的否定是“对任意x(R，x2-x<0”

D．已知x(R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

【答案】B

6. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为 ( )

A． B. － C．－ D. 

【答案】A

【解析】　(1)∵r＝，∴cos α＝＝－，∴m>0，∴＝，即m＝.　

7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于 ( )

A．1 B.  C.  D. 

【答案】D

【解析】∵＝＋＝＋， ∴2＝＋，即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝.

8．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝ ( )

A．-1 B．1 C．
D．e2

【答案】B

【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，

令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.当x<时，f′(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增；

当x>时，f′(x)<0，f(x)在(，2)上单调递减，∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，解得a＝1.

9．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为 ( )

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】函数y＝tan向右平移后得到解析y＝tan＝tan.

又因为y＝tan，∴令－＝＋kπ，∴＝＋kπ(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为.

10．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　)

A．1

【答案】A

【解析】∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，0

∴a－1>0且a＋1≤3，解得1

11. 设函数
的图象关于直线x=
对称,相邻两个对称中心之间的距离为
,则 ( )

A．f(x)的图象过点(0,
)

B. f(x)在[
,
]上是减函数

C. f(x)的一个对称中心是(
,0)

D. 将f(x)的图象向右平移
个单位得到函数
的图象

【答案】C

12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a

A．f(0) f(1)>0 B．f(0)f(3)>0 C．f(0)f(2)>0 D．f(0)f(3)<0

【答案】B

【解析】∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，

∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．

又a0，y极小值＝f(3)＝－abc<0，∴0

∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.

又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．

∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的是B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，则a·b＝ ．

【答案】

【解析】a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，

则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.

14．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则

点M恰好取自阴影部分的概率是 ．

【答案】

15．已知0<β<
<α<π，且cos(α-
)＝－，sin(
-β)＝
，则cos(α＋β) =_____．

【答案】－

【解析】∵0<β<<α<π，∴<α－<π，－<－β<，

∴sin＝＝，cos＝ ＝，

∴cos ＝cos