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大田一中2016届文科班高三上学期第一次阶段考数学试卷 全卷满分150分 考试时间120分钟 第I卷（选择题共60分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 复数为纯虚数，则实数=( D ) A. B. C. D. 2．若集合，且，则集合可能是 ( A ) A． B． C． D． 3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量b在a方向上的投影为3，则实数m＝（ B） A．2 B． C．0 D．－ 4、若,则实数x= （ C ） A、23 B、 C、 D、 5、 (D ) A. B． C． D． 6. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（ B ） A. B. C. D.或 7．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的 坐标是（ D ） A、（1，5）或（5，5） B、（1，5）或（－3，－5） C、（5，－5）或（－3，－5） D、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5） 8. 在中，若，则此三角形形状是( B )[:] A．等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 9．已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( A ) B. C. D. 10. 已知是圆心在坐标原点的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且点的纵坐标为，点的横坐标为，则( D )[:.] A． B. C. D. 11. 已知为的三个内角的对边，向量．若向量与向量的夹角是，且，则的大小为（ C ） A． B． C． D． 12．已知函教的图象与直线y = b (0 B. C. D . 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13．命题“?x∈[－2,3]，－1 [答案] ?x∈[－2,3]，x≤－1或x≥3 14.若向量的夹角为，，则= 2 . 15.已知>0）的部分图像如图所示，且 ，则的值是 16、已知数列满足.定义：使乘积为正整数的叫做“易整数”.则在内所有“易整数”的和为__2036 三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本小题满分12分) 某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 -5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式; （2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心. 17.解：（1）根据表中已知数据，解得 数据补全如下表： 0 0 5 0 -5 0 函数表达式为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是 ， 其对称中心的横坐标满足 ，所以离原点最近的对称中心是．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． [解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令f ′(x)<0，解得x<－1，或x>3， ∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， ∴f(2)>f(－2)． ∵在(－1,3)上f ′(x)>0， ∴f(x)在(－1,2]上单调递增． 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最 大值和最小值． 于是有22＋a＝20，解得a＝－2， ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7. 19.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足 (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围． (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)由得q：2 当a＝1时，由x2－4x＋3<0，得p：1 因为p∧q为真，所以p真，q真． 由得2 所以实数x的取值范围是(2,3)． (2)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－a)(x－3a)<0. ①当a>0时，p：a 由题意，得(2,3](a,3a)， 所以即1 ②当a<0时，p：3a 由题意，得(2,3](3a，a)，所以无解． 20、（本小题满分12分）在等差数列中，前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足求数列的前n项和为： 20、解：(Ⅰ)设数列{an}公差为d， 由题设得 解得 ∴ 数列{an}的通项公式为：(n∈N*)． ………………………………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：…………………………………6分 ①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项， ∴ ?； ………………………9分 ②当为奇数，即时，为偶数． ∴ ． 综上： …………………………12分 21. (本小题满分12分) 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ (参考数据：sin38°＝，sin22°＝) 解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5， 依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°， 所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝38°， 又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船． 22. （本小题满分12分） 各项均为正数的数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和. 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org | ||||||||||||||||||||||||||||||
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