2015-2016学年第一学期高三期中联考试卷

数学（文科）

命题学校：张掖中学 命题教师：朱云霞 钱守忠

注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

第I卷 （选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
,
，则

A．
B．
C．
D．

2．设命题
，则
为

A．
B．

C．
D．

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A．
B．
C．
D．

4．
=

A．
B．
C．
D．

5．设
，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若
，那么等式
成立的条件是

A．
B．
C．
D．

7．函数
的图象是

A． B． C． D．

8．函数
的定义域为

A．
B．
C．
D．

9．已知函数

的图象与直线
的两个相邻交点的距离等于
，则
的单调递增区间是

A．
,
B．
,

C．
,
D．
,

10．若函数
的定义域为R，则k的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11．已知定义在
上的函数
（
为实数）为偶函数，记
，
，则
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

12．设函数
,则使得
成立的
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．
.

14．
= .

15．若函数
为偶函数，则
.

16．若函数
（
且
）的值域是
，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

已知
．

⑴求
的值；

⑵求
的值．

18．（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表：

0



























0

5





0



 ⑴请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
的解析式；

⑵将
图象上所有点向左平行移动

个单位长度，得到
的图象，若
图象的一个对称中心为
，求
的最小值.

19． (本小题满分12分)

已知函数
,曲线
在点
处切线方程为
.

⑴求
的值；

⑵求
的极大值.

20．（本小题满分12分）

在锐角△
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，

⑴求角
的值；

⑵设
，求函数
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

设函数
，

⑴求
的单调区间；

⑵证明：当
时，若
存在零点，则
在区间
上仅有一个零点．

22．（本小题满分12分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为
，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到
的距离分别为5千米和40千米，点N到
的距离分别为20千米和2.5千米，以
所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数
（其中a，b为常数）模型．

⑴求a，b的值；

⑵设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．

①请写出公路l长度的函数解析式
，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

2015-2016学年第一学期高三期中联考试卷

数学（文科）答案

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1～4 ACDDA 6～10CACCB 11～12 BB

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.
14.
15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.（本小题满分10分）

⑴
..........................4分

⑵原式

..................................10分

18. （本小题满分12分）

⑴根据表中已知数据，解得
. 数据补全如下表：

0



























0

5

0



0



且函数表达式为
..........................................6分

⑵由⑴知
，得
.

因为
的对称中心为
，
.

令
，解得
，
.

由于函数
的图象关于点
成中心对称，令
，

解得
，
. 由
可知，当
时，
取得最小值
.............12分

19. （本小题满分12分）

⑴

；.............................................................6分

⑵由⑴知
则

令

与
在定义域
上的情况如下















+

0

-

0

+







极大值



极小值





当
.............12分

20. （本小题满分12分）

⑴由正弦定理得
，

.....................6分

⑵锐角△
中，
，
...............................7分

..........
分

，
，
．

所以：函数
的取值范围是
........................................
分

21. （本小题满分12分）

⑴由

，得
；

当
时，
，所以
在定义域
单调递增，此时
的单调递增区间为
，无单调递减区间；

当
时，

令
得
或
，又因为
，所以
；

令
得
，又因为
，所以
；

所以，
的单调递减区间是
，单调递增区间是
；..............6分

⑵由⑴知，当
时，
在区间
上的最小值为
.

因为
存在零点，所以
，从而
.

当
时，
在区间
上单调递减，且
，

所以
是
在区间
上的唯一零点.

当
时，
在区间
上单调递减，且
，
，

所以
在区间
上仅有一个零点.

综上可知，若
存在零点，则
在区间
上仅有一个零点. ............12分

22. （本小题满分12分）



由题意知，点
，
的坐标分别为
，
，

将其分别代入
，得
，解得
；..................4分

①由⑴得
，则点
的坐标为
，

∴
，∴切线
的方程为
，

设曲线
在点
处的切线
交
，
轴分别于
，
点，则
，
，

∴
；.......................8分

②设
，则
，令
解得
，

当
时，
，
是减函数；

当
时，
，
是增函数；

从而，当
时，函数
有极小值，也是最小值，

∴
，∴
，

答：当
时，公路
的长度最短，最短长度为
千米..................12分





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