衡阳市八中2016届第3次月考数学（理）试题

命题人 方岭生 审题人 蒋金元

一、选择题（本大题共12小题，每小题题5分，满分60，每小题只有一个正确答案）

1．已知集合
，则
（ ） .

A．
B．
C．
D．

2．复数z满足（1＋i）z＝2i，则复数z在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知函数
，则
=（ ）.

A．
B．
C．
D．

4．函数
的零点所在的一个区间是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5．已知向量
，且
，则实数
＝（ ）

A．－1 B．2或－1 C．2 D．－2

6．
中，角
所对的边分别为
，若
（ ）．

A．
B．
C．
D．

7．下列命题中的假命题是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．函数
的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）．

A．
B．
C．
D．

9．已知
，若
，则
（ ）.

A.
B．
C.
D.

10．等差数列
中，
=12，那么
的前7项和
=（ ）

A．22 B．24 C．26 D．28

11．若数列
的通项公式分别是
，
，且
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
在
，
点处取到极值，其中
是坐标原点，
在曲线
上，则曲线
的切线的斜率的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20）

13．已知向量
，向量
的夹角是
，
，则
等于_______．

14．由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为______________．

15．若
,则
的最小值为________．

16．若数列
满足：存在正整数
，对于任意正整数
都有
成立，则称数列
为周期数列，周期为
. 已知数列
满足
，
现给出以下命题：

①若
，则
可以取3个不同的值

②若
，则数列
是周期为
的数列

③
且
，存在
，
是周期为
的数列

④
且
，数列
是周期数列.其中所有真命题的序号是 .

三、解答 题（本大题共6小题，满分70分，需写出必要的推理或计算过程）

17．（本小题满分10分）

（1）证明不等式：

（2）a,b,c为不全相等的正数，求证

18.(本小题满分12分）

已知向量
.令
，

（1）求
的最小正周期；

（2）当
时，求
的最小值以及取得最小值时
的值.

19．（本小题满分12分）

已知不等式

（1）若对于所有的实数
不等式恒成立，求
的取值范围；

（2）设不等式对于满足
的一切
的值都成立，求
的取值范围

20．（本小题满分10分）

某车间小组共
人需配置两种型号的机器
型机器需
人操作每天耗电
能生产出价值
万元的产品
型机器需
人操作每天耗电
能生产出价值
万元的产品现每天供应车间的电能不多于

问该车间小组应如何配置两种型号的机器才能使每天的产值最大
最大值是多少

21．（本小题满分12分）

已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝（an＋1）2．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝
，求数列{bn}的前n项和为Tn

22．（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式
恒成立，求整数a的最小值；

（Ⅲ）若正实数
满足
，证明

参考答案

1．BABC BCDC DDCA

13.2 14．
15.121/29
16．①②③

17．10分

证明：
=

即

(2)基本不等式略（没指出“=”不成立扣2分）

18．12分（1）
；（2）当
时，函数
取得最小值
.

.2分

...4分

5分

（1）由最小正周期公式得：
6分

（2）
，则
7分

令
，则
， .8分

从而
在
单调递减，在
单调递增 .10分

即当
时，函数
取得最小值
12分

考点：
的图象及性质.

19．12分．（1）不存在这样的m使得不等式恒成立（2）

（1）当
时，
，即当
时不等式不恒成立，不满足条件

当
时，设
，由于
恒成立，则有

解得

综上所述，不存在这样的m使得不等式恒成立。

（2）由题意
，设
，则有

即
，解得

所以
的取值范围为

20．10分．

先根据题意设需分配给车间小组
型、
型两种机器分别为
台、
台则得到
线性约束条件，然后作图，

平移法得到z=4x+3y过点M(3,2)时取最大值18

答A型号机器3台，B型号机器机器2台每天产值最大，最大值为18万元

（注：没作答扣2分，没作图扣扣4分，作图不准扣2分）

21.
；（2）
．

试题解析：（1）因为（an＋1）2＝4Sn，

所以Sn＝
，Sn＋1＝
．

所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝
，

即4an＋1＝
＋2an＋1－2an，

∴2（an＋1＋an）＝（an＋1＋an）（an＋1－an）．（4分）

因为an＋1＋an≠0，

所以an＋1－an＝2，

即{an}为公差等于2的等差数列．

由（a1＋1）2＝4a1，解得a1＝1，

所以an＝2n－1．（6分）

（2）由（1）知bn＝
，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝

＝

22．14分（1）
；（2）2；（3）证明详见解析.

（Ⅰ）
，

由
，得
，

又
，所以
.所以
的单调减区间为
. 4分

（Ⅱ）令
，

所以
.

当
时，因为
，所以
.

所以
在
上是递增函数，

又因为
，

所以关于
的不等式
≤
不能恒成立. 6分

当
时，
，

令
，得
.

所以当
时，
；当
时，
，

因此函数
在
是增函数，在
是减函数.

故函数
的最大值为
. 8分

令
，

因为
，
，又因为
在
是减函数.

所以当
时，
.

所以整数
的最小值为2. 10分

（Ⅲ）由
，即
，

从而

令
，则由
得，
，

可知，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.

所以
，

所以
，又
，

因此
成立. 14分

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