衡阳县第一中学2016届高三上学期第二次月考

数学（文）试题

时量：120 分钟 满分：150 分

一、 选择题：(本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)

1. 已知全集
，
，
，则集合A∩
uB)=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2.设命题P：
n
N，
>
，则P为（ ）

（A）
n
N,
>
（B）
n
N,
≤

（C）
n
N,
≤
（D）
n
N,
=

3. 函数
的零点所在的区间是（ ）

（A）
（B）
（C）
(D)

4.设
，则“
”是“
”的( )

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5.给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④

6.设
是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，
=
，则
=（ ）

(A)
(B)
(C)
(D) -

7.已知定义在R上的函数
为偶函数,记

,则
,的大小关系为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

8.设
，定义符号函数
则( )

（A）
（B）
(C)
（D）

9．若函数
的大致图象如右图所示，其中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数
的大致图象为(　 　)

10．若函数
在[5,20]上是单调函数，则实数k的取值范围为（ ）

（A）(-∞,40] （B）[160,+∞]

（C）[40，160] （D）(-∞，40]∪[160,+∞)

11.设函数
若
，则
（ ）

（A）1 （B）
（C）
（D）

12．已知函数
的定义域为R，若存在常数
，对任意
，有
，则称
为
函数．给出下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数
均有
．其中是
函数的序号为（ ）

(A)①②④ （B）①②⑤ （C）②③④ ( D)①④⑤

二．填空题：共4小题，每小题5分.

13.
。

14．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以

AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.

15．若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又有f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是________．

16.设函数
①若
，则
的最小值为 ；

②若
恰有2个零点，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分）

设集合
，
．

（1）求集合
；（2）若不等式
的解集为
，求
，
的值．

18.(本小题满分12分）

已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；

q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.

19.(本小题满分12分）

已函数
是定义在
上的奇函数,在
上时

（Ⅰ）求函数
的解析式; （Ⅱ）解不等式

20.(本小题满分12分）

已知
且
，函数
.

（1）求
的定义域
及其零点；

（2）讨论并证明函数
在定义域
上的单调性；

（3）设
，当
时，若对任意
，存在
，使得
，求实数
的取值范围.

21.(本小题满分12分）

定义在D上的函数
如果满足：对任意
存在常数M>0 都有
成立，则称
是D上的有界函数，其中M称为函数
的上界，已知函数

当a=1时，求函数
在
上的值域，并判断函数
在
是否为有界函数，说明理由；

若函数
在
是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。

22.(本小题满分10分）选修4-1，几何证明选择

如图，AB切圆O于点B，直线AO交圆O于D,E两点，BC
DE,垂足为C.

（I）证明：
;

（II）若AD=3DC，BC=
,求圆O的直径.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

当
时，求不等式
的解集；

已知关于
的不等式
的解集为
，求
的值。

湖南省衡阳县一中2016届高三第二次月考

文科数学

参考答案

选择题：共12小题，每小题5分.

A B C A B D C A B D BD

二．填空题：共4小题，每小题5分.

-1;
;　(－3,0)∪(0,3) ; (1)-1，(2)
或
.

三、解答题：

17.(本小题满分12分）设集合
，
．

（1）求集合
；（2）若不等式
的解集为
，求
，
的值．

解：
，……………………………3分

，………………………… 6分

（1）
；………………. ………………………… 8分

（2）因为
的解集为
，所以
为
的两根，…10分

故
，所以
，
．……………… …………… …………. 12分

18、（本小题满分12分）已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.

解:若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则
………………2分

解得m＞2，即p:m＞2.………………………4分

若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根 则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0.………6分

解得1＜m＜3,即q:1＜m＜3.………………………8分

∵p或q为真，∴p、q至少有一为真. 又p且q为假，∴p、q至少有一为假.因此，…10分

p、q两命题应一真一假，即p为真、q为假或p为假、q为真.

∴
或
解得m≥3或1＜m≤2.………………12分

19、（本小题满分12分）已函数
是定义在
上的奇函数,在
上时

（Ⅰ）求函数
的解析式; （Ⅱ）解不等式

20、（本小题满分12分）已知
且
，函数
.

（1）求
的定义域
及其零点；（2）讨论并证明函数
在定义域
上的单调性；

（3）设
，当
时，若对任意
，存在
，使得
，求实数
的取值范围.

（1）由题意知，
，解得
，所以函数
的定义域
为
． ………………1分

令
，得
，解得
，故函数
的零点为
； ……………………2分

（2）设
是
内的任意两个不相等的实数，且
，则
，……3分

……………………………5分

当
时，
，故
在
上单调递减，

当
时，
，故
在
上单调递增 …6分

（III）若对于任意
，存在
，使得
成立，只需
……7分

由（Ⅱ）知当
时，
在
上单调递增，则
…8分

当
时，
，
成立 …………………………9分

当
时，
在
上递增，
由
，得
，
…10分

当
时，
在
上递减，
由
，得
，
…11分

综上，满足条件的
的范围是
. …………………………12分

21、（本小题满分12分）

定义在D上的函数
如果满足：对任意
存在常数M>0 都有
成立，则称
是D上的有界函数，其中M称为函数
的上界，已知函数

当a=1时，求函数
在
上的值域，并判断函数
在
是否为有界函数，说明理由；[来源:Zxxk.Com]

若函数
在
是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

解析：（1）当a=1时，
因为
在
上递减，所以
所以
的值域为
，故不存在常数M，使得
，所以
不是
有界函数----------5

（2）由题意
在
上恒成立，

所以
在
上恒成立，

设
，则
-----------8

由
得
上恒成立， 设

所以
在
上递减，
在

上递增，所以
在
上的最大值为
，

在
上的最小值为
，所以实数a的取值范围为[-5,1] -----------12

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。

22、（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选择

如图，AB切于
于点B，直线AO交圆O于D,E两点，BC
DE,垂足为C.

证明：
; (2)若AD=3DC，BC=
,求圆O的直径.

因为
是
的直径，则
，

又
，所以

又
切
于点
，得
所以

由(I)知
平分
，则
，又
，从而
，

所以
所以
，由切割线定理得

即
，故
，即
的直径为3.

23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

当
时，求不等式
的解集；

已知关于
的不等式
的解集为
，求
的值。

【解析】
当
时，

当
时，由
；

当
时，由
，不成立；

当
时，由
；

综上，
所以，当
时，不等式
的解集为

记
则

由
得
， 即

由已知不等式
的解集为
亦即
的解集为

所以
解得

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