兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题

数学（文科）

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A=
则（CRA）
B=( B )

A．
B．
C．
D．

2.已知函数

,则
是( A )

最小正周期为
的奇函数
最小正周期为
的偶函数

最小正周期为
的奇函数
最小正周期为
的偶函数

3.下列说法中，正确的是（ B ）

A.命题“若
，则
”的否命题是假命题

B.设
为两不同平面，直线
，则“
”是 “
” 成立的充分不必要条件

C.命题“存在
”的否定是“对任意
”

D.已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

4.设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1),如果向量a＋2b与2a－b平行,

则a 与b的数量积等于(　D　)

A．－ B．－ C. D.

5.若
，
，
，则( A )

A．
B．
C．
D．

6.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　A　)

A． B. － C．－ D.

7.函数
是奇函数,且在（
）内是增函数,
,则不等式
的解集为( D )

A．
B．

C．
D．

8.为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin 2x的图象(　C　)

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

9．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,

且g(3)=0.则不等式
的解集是( D )

A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

10.如图所示，两个不共线向量
,
的夹角为
，

分别为
与
的中点，点
在直线
上，

且
，则
的最小值为( B )

11.设
是定义在
上的增函数，且对任意
，都有
恒成立，如果实数
满足不等式
，那么
的取值范围是(A)

（9，49）
（13，49）
（9，25）
（3，7）

12.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对?x1∈，?x2∈，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　A　)

A．[，＋∞) B．(－∞，] C．[，＋∞) D．(－∞，－]

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ________.答案：

14.若cos－sin
＝，则sin
＝________.答案：

15.已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，〈a，b〉＝，则|b|＝________.答案　2

16.设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________.

答案：(－1，＋∞)

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题10分）

已知
＝(cos＋sin，－sin)，
＝(cos－sin，2cos).

(1)设f(x)＝
，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈
，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值.

解：(1)由f(x)＝
得

f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos

＝cos2－sin2－2sincos

＝cosx－sinx

＝cos(x＋)，

所以f(x)的最小正周期T＝2π.

又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，

得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).

(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝.

又x∈，于是有x＋∈，得x1＝0，x2＝－，

所以x1＋x2＝－.

18. （本小题12分）

根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别

PM2.5浓度

（微克/立方米）

频数（天）

频率



第一组

(0,25]

3

0.15



第二组

(25,50]

12

0.6



第三组

(50,75]

3

0.15



第四组

(75,100)

2

0.1



(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

解：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为
，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为
．

所以5天任取2天的情况有：
，
，
，
，
，
，
，
，
共10种． ……………………4分

其中符合条件的有：

，
，
，
，
，
共6种． …………6分

所以所求的概率
． ……………………8分

（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：

（微克/立方米）．

……………………………………………10分

因为
，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分

19. （本小题12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
,

是
的中点.

（Ⅰ）证明
；

（Ⅱ）求三棱锥A-BDP的体积.

证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O,连接OE

∴
是正方形

∵ O是AC中点. 又E是PC中点，∵ OE∥PA ,

∴
……………………6分

（Ⅱ）

……………………12分

20. （本小题12分）

己知
、
、
是椭圆
：
（
）上的三点，其中点
的坐标为
，
过椭圆的中心，且
，
。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
(斜率存在时)与椭圆
交于两点
，
，设
为椭圆
与
轴负半轴的交点，且
，求实数
的取值范围．

【解析】（Ⅰ）∵
且
过
，则
．

∵
，∴
，即
．……2分

又∵
，设椭圆
的方程为
，

将C点坐标代入得
，

解得
，
．

∴椭圆
的方程为
． ……5分

（Ⅱ）由条件
，

当
时，显然
；………6分

当
时，设
：
，

，消
得

由
可得，
……①………8分

设
，
，
中点
，则
，
, ∴
．………10分

由
，∴
，即
。∴
，

化简得
……② ∴
将①代入②得，
。∴
的范围是
。

综上
．………12

21. （本小题12分）

已知函数
，
.

（1）若
，曲线
在点
处的切线与
轴垂直，求
的值；

（2）在（1）的条件下，求证：

解：(1)
时，

所以

由题
（6分）

（2）由（1）可得
只需证

设
，

令
，得
。 （8分）

当
时，
，

当
时，
，

所以，

所以，

22．选考题（本小题10分）

请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。

22—1.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB.

(1) 若CG=1，CD=4，求
的值.

(2) 求证：FG//AC;

【解析】(Ⅰ) 由题意可得：
四点共圆，

.

∽
.
.

又

，

=4. ………4分

(Ⅱ)因为
为切线，
为割线，
，

又因为
，所以
．

所以
，又因为
，所以
∽
，

所以
，又因为
，所以
，

所以
． ………………………10分

22—2．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为