2015学年第一学期十校联合体高三期中联考

数 学 试 卷（理）

（满分150分，考试时间：120分钟）

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知
，则“
”是“
”成立的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） .

A.
B.
C.
D.

4.已知等比数列{
n}首项为
，公比
，前
项和为
，则下列结论正确的是 （ ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

5.已知函数
的最小正周期为
，且其图像向右平移
个单位后得到函数
的图像，则函数
的图像 ( )

A．关于直线
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于点
对称

6.若实数x，y满足不等式组
， 则
的最大值是( )

A．6 B．7 C．8 D．9

7.若关于
的不等式
至少有一个正数解，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知
,
,
，且
与
所成角的正弦值为
，
与
所成的角为450，点
在平面
同侧，则
长的范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）

9.已知
，
，则
；
.

10.在等差数列
中，若
,
,则
；数列
的前
项和
.

11.已知直线
：
,若直线
与直线
垂直，则
的值为 ； 若直线
被圆
：
截得的弦长为4，则
的值为 .

12.已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
；若函数
为
上的单调减函数，则
的取值范围是 .

13.若
，则
的最大值为 ．

14.已知向量
，且
，
，则
的最小值为 ．

15.已知双曲线
的左右焦点分别为
，抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，
在第一象限相交于点P，且
，则双曲线的离心率为 .

三．解答题（本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.（本小题满分14分）已知
中角
对边分别为
,且满足
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
,求
的面积．

17.（本小题满分15分）如图，已知四边形
为菱形，且
,
分别为
的中点，现将四边形
沿
折起至
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若平面
⊥平面
，求二面角
的平面角的余弦值．

18.（本小题满分15分）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，过点
作直线交椭圆C于
两点，设直线
和
的斜率分别为
．

（Ⅰ）求证：
为定值；

（Ⅱ）求
面积
的最大值．

19.（本小题满分15分）已知函数
．

（Ⅰ）若函数
且
，求函数
解析式；

（Ⅱ）
,当
时，对任意

，都有
恒成立，求
的最小值．

20.（本小题满分15分）已知数列
满足
且
．

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）令
，数列
的前
项和为
，求证:
.

2015学年第一学期十校联合体高三期中联考

数 学 （理）参考答案

一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

C

A

A

C

D

B



二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）

9.

10.

11.

12.

13.
14. 1 15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分14分）已知
中角
对边分别为
,且满足
.

（Ⅰ）求
的值

（Ⅱ）若
,求
的面积。

解：（Ⅰ）
，------------------------------- 2分

即
，

所以
， ------ 4分

所以
，

所以
，

所以
， ------------------------------------------------------ 6分

得
． ---------------------------------------------------7分

（Ⅱ）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：

--------------------------------------- 9分

--------------------------------------- 11分

. ------------------------- 14分

17. （本小题满分15分）如图，已知四边形
为菱形，且
,
分别为
的中点，现将四边形
沿
折起至
。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若平面
⊥平面
，求二面角
的平面角的余弦值。

解：（Ⅰ）取AH的中点G，连接BG，FG，EF ---------------------------2分

因为四边形ABCD为菱形，所以BE平行且等于

又因为FG为三角形ABH的中位线，所以FG平行且等于

故BE平行且等于FG，即BEFG为平行四边形，

因此EF平行BG -----------------------------------4分

所以
--------------------------------------- 5分

（Ⅱ）因为
，所以

故翻折之后
,因此
为二面角A-DE-H的平面角，

故
.因此
----------------------7分

建立直角坐标系，以E为坐标原点，以AE为x轴，DE为y轴，且设菱形边长为2，

则

因此，

设平面ABH的法向量为
,则

即
,取
------------------------------ 10分

同理，平面ADH的法向量为
---------------------------------------1 2分

于是，
, --------------------------------------- 14分

由题知，所求二面角为钝角，

故二面角
的平面角的余弦值为
。 --------------- 15分

18.（本小题满分15分）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，过点
作直线交椭圆C于
两点，设直线
和
的斜率分别为
．

（Ⅰ）求证：
为定值；

（Ⅱ）求
面积
的最大值．

解：（Ⅰ）由题意得椭圆方程为
----------------------------------- 3分

设
直线方程为
，代入椭圆方程得：
，

设
，则
…………………………5分

…… 7分

（Ⅱ）由
，得

，所以

--------------------------------10分

=
（
），

所以
时，
的最大值为
--------------------------------------- 15分

19.（本小题满分15分）已知函数
。

（Ⅰ）若函数
且
，求函数
解析式；

（Ⅱ）若
,当
时，对任意

，都有
恒成立，求
的最小值。

解（Ⅰ）由已知得
，则

―――――――――― 5分

（Ⅱ）①当a=0时，
在[0,2]上的最大值为1----------------- 7分

②
时