2015—2016学年上学期期中联考

高中三年级 数学（理）

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。交卷时只交机读卡和答题卷。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合
，且
，则集合B可能是

（A）
（B）
（C）
（D）R

（2）如图所示，在复平面内，点
对应的复数为
，则复数

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）已知命题
，则
为

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）函数
的导数为
.命题P: 若函数
在区间
内无极值点,则
在区间
内无零点. 命题P的逆命题,否命题,逆否命题中,正确的个数是

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（5）由曲线
，直线
所围成的平面图形的面积为

（A）4－ln 3 （B）2－ln 3 （C）4＋ln 3 （D）

（6）数列
的前
项和为
，
，
，且
（
），则

（A）1342 （B）1344 （C）1346 （D）1348

（7）下列函数中,既是奇函数又在区间
上单调递增的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）设
是第三象限角，
，则

（A）-3 （B）-2 （C）2 （D）3

（9）等比数列
的前
项和为
,并且对任意的正整数
成立
,则
=

（A）2 （B）6 （C）2或6 （D）2或

（10）设
是两个非零的平面向量，给出下列说法

①若
，则有
；②
；③若存在实数λ，使得
，则
；④若
，则存在实数λ，使得
.其中说法正确的个数是

（A） 1 （B） 2 （C）3 （D） 4

（11）设
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（12已知方程
在
有两个不同的解
（
），则下面结论正确的是

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）
;

（14）等差数列
的前
项和为
,
,则公差d= ;

（15）在△ABC中,已知
.若
,则
;

（16）用min{a,b}表示a,b二个数中的较小者。设
,则
的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）(本小题满分10分)

命题P:存在实数
；命题
对任意
恒成立.若P或Q为真，P且Q为假，试求
的取值范围.

（18）(本小题满分12分)

已知向量
,函数
.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式,并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(须列表)

（Ⅱ）该函数的图象由
的图象经过怎样的变化得到？

（19）(本小题满分12分)

已知
，其中
.

（Ⅰ）当
时，求
在[-1,1]上的最大值；

（Ⅱ）若
在
上存在单调递减区间，求
的取值范围。

（20）(本小题满分12分)

如图，在△
中，
为钝角，
．
为
延长线上一点，且
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）求
的长及△
的面积．

（21）(本小题满分12分)

在下面由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于
，每列上的数从上到下都成等差数列．
表示位于第
行第
列的数，其中
，
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的计算公式；





…









…









…



…

…

…

…



（Ⅲ）设数列
满足
，
的前
项和为
，求
.

（22）(本小题满分12分)

已知函数
,
，(a为常数).

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）证明:
.

2015—2016学年上学期期中联考

高中三年级 数学（理）参考答案

一选择题

ADDC ADCB CBBC

二、填空题

（13）2 （14）
（15）
（16）2

三、解答题

（17）（本小题满分10分）

P真：
或
…………………4分

Q真：
…………………4分

…………………12分

（18）（本小题满分12分）

[解]

(1)

＝3sin…………………3分

令X＝2x＋，则
＝3sin＝2sin X.

列表：

x

－

0









π



X

0





π



2π





y＝sin X

0



1

0

－1

0






＝3sin

0



2

0

－2

0





…………………6分

描点画图：(略) …………………8分

(2)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y＝3sin的图象．

法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，即得到y＝3sin的图象．…………………12分

（19）（本小题满分12分）

(1)
，

∴
在
上单调递增，在
上单调递减，∴
，…………5分

(2)

∵
在
上存在单调递减区间

∴①

②
无解

综上：
…………………12分

（20）（本小题满分12分）

（Ⅰ）在△
中，

因为
，
，

由正弦定理可得
，

即
，

所以
．

因为
为钝角，所以
.

所以
． ………………………………………………………………6分

（Ⅱ）在△
中，由余弦定理可知
，

即
，

整理得
．

在△
中，由余弦定理可知
，

即
，

整理得
．解得
．

因为
为钝角，所以
.所以
．

所以△
的面积
．…………….12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设第4列公差为
，则
．

故
，于是
．

由于
，所以
，故
． …………………3分

（Ⅱ）在第4列中，
．

由于第
行成等比数列，且公比
，

所以，
． …………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得
．即bn=
．

所以

.

即
，

故
．

两式相减，得
…

，

所以

．　…………………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

，记
………1分

①当
时，因为
，所以
，函数
在
上单调递增；……2分

②当
时，因为
，所以
，函数
在
上单调递增；…………………………………………………………………………………………3分

③当
时，由
，解得
，

所以函数
在区间
上单调递减，

在区间
上单调递增．…………………………5分

（2）
与
的公共定义域为
，

，

令
，
，
，所以
单调递增

因为

所以存在唯一
使得

且当
时
递减; 当
时
当递增;

所以
故
．……12分

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