南阳市2016届高三上期期中质量评估

数学（理）试题

第I卷（选择题共60分）

一、选择魔：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的．

1．若集合A＝｛x｜

｝（i是虚数单位），B＝（1，一1｝，则A
B等于

A．｛一1｝　　B．｛1｝　　C．
　　　　 D．｛1，一1｝

2；设复数z＝（x一1）＋
，若
1，则y≥x的概率为

　A、
　　　 B、
　　　 C、
　　　 D、

3．下列命题中正确的结论个数是

①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件

②命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0’’的否命题是“若ab
0，则a
0且b
0＂

③日
，使

A．0 　B．1 　C．2 　　D．3

4．已知函数
，当f（x）＞f（2x一1）时，x的取值范围是

　　　A、
　　　　　　　　B、

C、
　　　　　　　　　D、

5．已知等比数列｛
｝满足
＞O，n＝1，2…，且
，则当n
1时，

A．n（2n一1）　　B．（n＋l）2 　　C．n2　　　D．（n一1）2

6.已知函数y= f(-｜x｜）的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象不可能是

7.若
恒成立，则a的最小值为

A. 1 　　　　B.
　　　C. 2 　　　D、2

8.已知a是实数，则函数f(x)=1+a sin ax的图象不可能是

9. 在△ABC中，已知AC=1，∠ABC＝
，∠BAC=θ,记
，则f（θ）的值域为

　A.[0，
）　　B. (0,
)　　　 C. [0,
］ 　D. (0,
］

10.函数f (x)＝
，若函y＝f (x)十f（2－x）－b，
恰4个零，

则b的取值范围是

A.（
，＋
） B.（一
,
） C.（0，
） D.（
，2）

11．已知
：若P是△ABC所在平面内一点，

且
的取值范围是

A、[13,17]　　　 B.[12,13］ 　　　C. [
,12］ 　　D. [
,13］

12.已知函数f(x）对任意的x
R都满足f(x)＋f (－x) =0,当x
0时，f（x）＝
，若对
，都有f（x－2）
f （x)，则实数a的取值范围为

A、(0，
) 　　B .［
，
) 　C、（0，
] 　　　D、(0，
］

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若△ABC的面积为10
，且AB＝5， AC＝8，则BC等于　　　　．

14.已知f（x）在R上可导，且满足
，则f（一2015)+f（2015） 　　2f（2）(填两个数值的大小关系：＞、＝、＜、≥、≤）．

15.设实数x,y满足约束条件
，若目标函数
的最大值为9，则d＝
的最小值为　　　　．

16.设函数
，若f (x)的函数图像与x轴恰有2个交点，则实数

的取值范围是　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题10分）

在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C，所对的边，且

(1)确定角C的大小；

（2）若
，且△ABC的面积为
，求
十b的值．

18.（本小题12分）

　　Sn为数列｛
｝的前n项和，已知Sn＝
．

（1)求数列｛
｝的通项公式；

　 (2)若数列｛
｝满足
，求数列{
｝的前n项和Tn.

19.（本小题12分）

设f(x)是一个二次项系数为正的二次函数，f(x+3)＝f(－1－x)对任意x
R都成立，若向量a=（
，2sin x)，b＝(2，sin x)，c＝(2，1)，d＝(l，cos 2x)，求f(a·b)－f(c·d)>0的解集．

20.（本小题12分）

数列｛
｝的首项al＝1，且对任意n
N＊ ,
与
恰为方程
的两个根．

(1)求数列（
｝和数列｛
｝的通项公式；

（2）求数列｛
｝的前n项和Sn．

21.（本小题12分）

已知函数f (x) =x3－3x.

(1)求函数f (x)的极值；

(2)过点P(l,n)(n
－2)作曲线y= f (x)的切线，问：实数n满足什么样的取值范围，

过点P可以作出三条切线？

　22.（本题12分）

已知函数g(x)＝x2－2x ln x.

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在
(0 ,1)，使得g(.x)
在区间（1，＋
）内恒

成立，且g(x)=
在（1，＋
）内有唯一解．

高三（理科）数学试题参考答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.D　2.C　3.B　4.C　5.C　6.C　7.B　8.D　9.D　10.D　11.D　12.C

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.
或
14、≥（大于等于） 15、
16、
或

三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题10分）

解（1）由
及正弦定理得，

是锐角三角形，
…………5分

（2）解法1：
由面积公式得

由余弦定理得

由②变形得

解法2：前同解法1，联立①、②得

消去b并整理得
解得

所以
故
…………10分

18.（本题12分）

解：（Ⅰ）由
可得
，

而
，则
…………6分

（Ⅱ）由
及
可得
.

…………12分

　　19.（本题12分）

解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因为f(x+3)=f(-1-x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数；

∵·=(,2sinx)·(2,sinx)=2sin2x＋1≥1，·=(2, 1)·(1, cos2x)

=cos2x＋2≥1 ……………………6分

∵m＞0，f(·)＞f(·)
f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)

2sin2x＋1＞cos2x＋2
1－cos2x＋1＞cos2x＋2
cos2x＜0

2kπ＋
＜2x＜2kπ＋
,k∈z
kπ＋
＜x＜kπ＋
,

k∈z. ……………………12分

20.（本题12分）

解：(Ⅰ)由题意n∈N*，an·an＋1＝2n

∴＝＝＝2

又∵a1·a2＝2，a1＝1，a2＝2

∴a1，a3，…，a2n－1是前项为a1＝1公比为2的等比数列，

a2，a4，…，a2n是前项为a2＝2公比为2的等比数列　

∴a2n－1＝2n－1，a2n＝2n n∈N*　

即
…………3分

又∵bn＝an＋an＋1

当n为奇数时，

当n为偶数时，

∴bn＝
…………6分

(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

当n为偶数时，

Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)

＝
＝7·
－7　

当n为奇数时，

Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn

＝Sn－1＋bn＝10·
－7　

Sn＝
…………12分

21. （本题12分）

解：（I）∵
，∴在
处取得极值，

∴极大值
，极小值
， …………5分

（II）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

∵曲线方程为y=x3－3x，∴点P（1，n）不在曲线上.

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足

因
，故切线的斜率为

，

整理得
.

∵过点P（1，n）可作曲线的三条切线，

∴关于x0方程
=0有三个实根.

设g(x0)=
，则g′(x0)=6
，

由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.

∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x0)=
的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程
=0有三个实根的充要条件是

，解得－3

故所求的实数a的取值范围是－3

（本题12分）

解：⑴由题
的定义域为
，
，所以

且
。当
时，
，当
时，
，

可得
，
在
单调递增； …………6分

⑵设函数
。则只需证明：存在
，使得
在区间
内恒成立，且
在
内有唯一解。由
可得
，令

，则
，
，故存在
，使得
。令
，
，由
知，函数
在区间
单调递增。所以
，即
。当
时，有
，
。由⑴知，函数
在
单调递增，故当
时，有
，从而
；当
时，有
，从而
。所以，当
时，
。综上所述，存在
，使得
在区间
内恒成立，且
在
内有唯一解。 ……12分

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