2015学年第一学期期中联考

高三年级数学(文)学科 试 题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号、姓名、试场座位号。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集为R，集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.设
则“
”是“
”的 ( )

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知角
的终边与单位圆交于点
,则
值为 ( )

A.
B.
C.
D.

4.若正项等比数列
中,
,则公比
的值为 ( )

A.
B.
C.2 D. 3

5.函数
的图象是( )

A． B． C． D．

A. B. C. D.

6．已知偶函数
在
上递减，则
的大小关系是 ( )

A．
B．
C．
D．

7．已知
上有解，则
的取值范围( )

A．
B．
C．
D．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2－4x+y2=0(2≤x≤4)上的一个动点，点C在线段OA的延长线上。当
时，点C的轨迹为 ( )

A．线段 B．圆弧 C．抛物线一段 D．椭圆一部分

二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。把答案填在题中的横线上。）

9．若向量
与
满足
，
．则向量
与
的夹角等于　 　，
在
上的投影=　 　，
　 　．

10．已知
是R上的单调递减函数，则
　 　 ，实数
的取值范围是　 　

11．若实数
且
，则
的最小值是　 　，
的最小值是　 ．

12．直线
:
将圆
分成两段弧，其中较短的一段弧

所对圆心角为
，则
_______．当直线
被圆
截得的弦最短时
________

13．设
与
的离心率互为倒数，则以
为边长的三角形的形状一定是_____________

14．已知数列
满足
设
则
___________

15．如图，在△
中，
分别是
的中点，若
（
），且点
落在四边形
内（含边界），则
的取值范围_____________

三、解答题：（本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（本题满分14分）在△ABC中，
分别是
的对边长，已知
.

(Ⅰ)若
，求实数
的值;

(Ⅱ)若
,求△ABC面积的最大值.

17. (本题满分15分) 已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
. 在数列
中，
，
．

（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）设
求数列
的前项和
.

18. （本题满分15分）设向量
，
其中
为实数．

（Ⅰ）若
，且
求
的取值范围；

（Ⅱ）若
求
的取值范围．

19..（本小题满分15分）如图，设抛物线方程为
，M为直线
上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B. 若抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点时,
.

(Ⅰ)抛物线方程；

(Ⅱ)求M到直线AB的距离的最小值.

20. （本题满分15分） 已知函数

（Ⅰ）当
时，求使
成立的
的值;

（Ⅱ）当
，求函数
在
上的最大值；

（Ⅲ）对于给定的正数
，有一个最大的正数
，使
时，都有
，试求出这个正数
，并求它的取值范围.

座位号









 2015学年第一学期期中联考

高三年级数学（文）学科答题卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案





















二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

把答案填在题中的横线上。

10． 11． 12．

13． 14． 15．

三、解答题：本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分14分）在△ABC中，
分别是
的对边长，已知
.

(Ⅰ)若
，求实数
的值;

(Ⅱ)若
,求△ABC面积的最大值.

17. (本题满分15分) 已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
.

在数列
中，
，
．

（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）设
求数列
的前项和
.

18. （本题满分15分）设向量
，
其中
为实数．

（Ⅰ）若
，且
求
的取值范围；

（Ⅱ）若
求
的取值范围．

19.（本小题满分15分）如图，设抛物线方程为
，M为直线
上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B. 若抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点时,
.

(Ⅰ)抛物线方程；

(Ⅱ)求M到直线AB的距离的最小值.

20. （本题满分15分） 已知函数

（Ⅰ）当
时，求使
成立的
的值;

（Ⅱ）当
，求函数
在
上的最大值；

（Ⅲ）对于给定的正数
，有一个最大的正数
，使
时，都有
，试求出这个正数
，并求它的取值范围.

2015学年第一学期期中联考

高三年级数学（文）学科参考答案

一、选择题：本大题有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



选项

A

C

B

C

A

D

B

A



二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

把答案填在题中的横线上。）

1

10． 0
11．

12． _0或_

13． 直角三角形

14．
_ 15．

三、解答题：（本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（本题14分）本题主要考查三角恒等变换、解三角形等基础知识，同时

考查学生的运算能力。

16．解：(Ⅰ)由
两边平方得:
，

即
，解得:
． ……………………………… 4分

而
可以变形为
，

即
，所以m=1 ． …………………………………………… 7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，则
，又
， ………………… 9分

所以
即
． ………………………………… 12分

故
． ……………………………………… 14分

17. (本题满分15分) 本题主要考查数列前n项和与通项公式的关系，等差数列及错位相减法求数列的前n项和。

17.解：（Ⅰ）由题意知
　　将
代入得

当
　　两式相减得
（
）

整理得：
（
） ∴数列
是
为首项，2为公比的等比数列.

——————————————４分

为等差数列，公差为
，
　
　即

　
　　　　　　　　　——————————————８分

（Ⅱ）

…… ①

…… ②　　————————１0分

①－②得

——————————————１5分

18. （本题满分15分）本题主要考查向量的垂直，共线基础知识与三角函数结合，包括方程有解问题及三角函数取值范围问题。

18.解：（Ⅰ）

由
[:]

整理得：方程
对一切
均有解. …………3分

当
时，得
，符合；…………4分

当
时，
…………6分

解得：

综上：
…………8分

（Ⅱ）由题意只需
由
消去
得：…………10分

，
…12分

解不等式组
，得：
…………14分

…………15分

19..（本小题满分15分）本题主要考查抛物线方程及几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

19.解：(Ⅰ)由
，得yP+2p-(yP+
)=
?p=1，

∴抛物线方程为
.…………………………………………………………4分

(Ⅱ)设M(m, -2)，过M点的直线为L：y=k(x-m)-2，

联立：
，消去y，得
?
①，相切，则△=0

?
?
②，此时方程①有等根x=k，……7分

令A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1-x2=(k1-k2)，y1-y2=
=
，

∴AB的斜率k′=

，由②，
，∴k′=
……9分

∴直线AB的方程为

?
?

?
，由②，
，

∴AB方程化为：
，…………………………………………11分

点M到AB的距离d=

=
，当且仅当

?
，即
时，上式成立等号，

∴M到直线AB的距离的最小值为
.…………………15分

20. （本题满分15分）本题主要考查二次函数、二次方程及函数的最值、恒成立问题知识点，同时考查运算求解能力。

20解：（Ⅰ）
…………3分

（Ⅱ）当
，作出示意图，注意到几个关键点的值:

， 最大值在
中取.

当
；

当
；

综上：
…………9分

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