2015学年第一学期十校联合体高三期中联考

数 学 试 卷（文）

（满分150分，考试时间：120分钟）

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知全集为
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
都是实数，那么“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何 体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知等比数列{
n}首项为
，公比
，前
项和为
，则下列结论正确的是 （ ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

5.函数
的图象大致是 ( )

6.若实数x，y满足不等式组
，则
的最大值是( )

A．6 B．7 C．8 D．9

7.如图，将菱形
沿对角线
折起，使得C点至
，
点 在线段
上，若二面角
与二面角
的大小分别为和45°和30°，则
= （ ）．

A．
B．
C．
D．

8.若存在实数a，对于任意实数
，均有
，则实数m的最大值是（ ）

A.
B.
C.
D.

二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）

9.已知
，
，则
；
.

10.在等差数列
中，若
,
,则
_________ ；数列
的前
项和
.

11.已知直线
：
,若直线
与直线
垂直，则
的值为 ； 若直线
被圆
：
截得的弦长为4，则
的值为 .

12.已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则

_________；若函数
为
上的单调减函数，则
的取值范围是 .

13.已知非零向量
若
与
的夹角为
，则
= ．

14.若
，则
的最大值为 ．

15.设
为双曲线
的右焦点，
是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点
（第一象限内），使得
，则双曲线离心率的取值范围为 .

三．解答题（本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.（本小题满分14分）△ABC中，已知
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求
的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

17.（本小题满分15分）已知
是各项为正数的等比数列，
为前
项和，满足
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设数列
的前
项积为
，求所有的正整数
，使得对任意的
，不等式
恒成立．

18.（本题满分15分）如图，平面
平面
，
是正三角形，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19. （本题满分15分）已知抛物线
的焦点为

为坐标原点，过
作直线交抛物线
于
两点，点
在抛物线
上，且满足
．

（Ⅰ）记
的面积分别为
,求证：
为定值；

（Ⅱ）求
的面积（用
表示）．

20．（本题15分）已知函数
．

（Ⅰ）若函数
且
，求函数
解析式；

（Ⅱ）若
,当
时，对任意

，都有
恒成立，求
的最小值．

2015学年第一学期十校联合体高三期中联考

数 学 （文）参考答案

一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

B

A

A

C

D

B



二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）

9.

10.

11.

12.

13.
14.
15. (1,4)

三．解答题（本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.（本小题满分14分）△ABC中，已知
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求
的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

解 （Ⅰ）由已知
， 2分

得

∴
， -------------------------------------- 4分

∵
，∴
． -------------------------------------- 6分

（Ⅱ）∵
，∴
，
.

．------- 10分

∵
，∴
，

∴当
，
取最大值
，解得
． --- 14分

17.（本小题满分15分）已知
是各项为正数的等比数列，
为前
项和，满足
，
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设数列
的前
项积为
，求所有的正整数
，使得对任意的
，不等式
恒成立．

解：（Ⅰ）设等比数列
的首项为
，公比为
，

则由条件得
， --------------4分

解得
，则
--------------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又
--------------10分

若存在正整数
，使得不等式
对任意的n∈N*都成立，

则
，即
，正整数
只有取
--------15分

18.（本小题满分15分）如图，平面
平面
，
是正三角形，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）
，且平面
平面
，交线为
；

平面
--------3分

又
平面

--------6分

（Ⅱ）取
的中点
，连接
． 则
，

平面
，
平面
平面
，

平面
平面
=
，

平面
，则
为所求线面角； --------10分

由已知不妨设：
，则
--------12分

，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
--------15分

19. （本题满分15分）已知抛物线
的焦点为

为坐标原点，过
作直线交抛物线
于
两点，点
在抛物线
上，且满足
。

（Ⅰ）记
的面积分别为
,求证：
为定值；

（Ⅱ）求
的面积（用
表示）。

解：（Ⅰ）记
,由
知

且

,

所以，
为定值3. -------------------------------5分

（Ⅱ）设直线AB方程为

联立
,

得
,所以
,

又
,所以

所以，P到直线AB的距离为
，

所以
--------------------------------10分

而
,所以

即
,结合
,得
,

进一步整理得

,（
） -------------------------15分

20．（本题15分）已知函数
。

（Ⅰ）若函数
且
，求函数
解析式；

（Ⅱ）若
,当
时，对任意

，都有
恒成立，求
的最小值。

解（Ⅰ）由已知得
，则

――――――――――― 5分

（Ⅱ）①当a=0时，
在[0,2]上的最大值为1------------------ 7分

②
时，对称轴为
>0，

若
即
时，
，

而
，所以