中原名校2015—2016学年上期第二次联考

高三文科数学试题及参考答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设集合
，则（?????? ）

A.
?? B.
?? C.
???? D.

解：
等价于，
，
，
。

又
，
，所以
。选C.

考点：绝对值不等式，对数不等式的解法，集合运算。

2.在等差数列
中，如果
，则数列
的前9项的和是（?? ）

A. 54????????? B.81??????? C.
????????? D.

解析：在等差数列
中，
,又因为
，所以
，数列
的前9项的和
。选D.

考点：等差数列前n项和，等差中项.

3. 设向量
，且
，则x的值是（?????? ）

A.10?????? B.-10??????? C.
??????? D.

解析：因为
，所以2x+4
(-5）=0，即x=10，选A.

考点：向量垂直，坐标运算。

?

4.下列有关命题的说法正确的是（????? ）

A.命题“
”的否命题是：“

”

B.命题“
”是“
”充分不必要条件

C.命题“若
，则存在
，使得
”的逆否命题是真命题

D.命题“若
，则
”逆命题是真命题。

解析：A.命题“
”的否命题是：“

”A错误。B.原命题成立，逆命题不成立，命题“
”是“
”充分不必要条件，正确。C.当
时，命题“若
，则存在
，使得
”的逆否命题是假命题，错误。D.当a、b异号时命题“若
，则
”逆命题是假命题。错误。故选B.

考点：量词，命题的四种形式，充分、必要条件。

5.已知实数
满足
，则函数
的最小值为（???? ）

A.
?????? B.2???????? C.
????????? D.4

解析：选C。
，


（当且仅当
时，等号成立）。

考点：基本不等式。

6.函数
的图像不可能是（???? ）

解析：选D.当
时，
，C选项有可能。当
时，
，所以D图像不可能。选D。

考点：函数定义域，函数图像。

7.若
，则下列不等式正确的是（???? ）

A.
?? B.
????? C.
???? D.

解析：因为
等价于
，又因为
，所以
，所以
，A错误。因为
所以
，B错误。因为
，所以函数
是减函数，所以
，所以C错误。因为
，所以函数
是增函数，所以
正确。???? 选D.

考点：对数运算，初等函数的单调性的应用。

8.函数
（其中
）的图像如图所示。为得到
的图像，则只要将
的图像（????? ）

A.向右平移
个单位长度?????????? B. 向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度?????????? D. 向左平移
个单位长度

解析：选B.根据图像可得：

因为
，取k=0,得：

，
，

，所以向右平移
个单位长度。

考点：三角函数解析式，三角函数图像变换。

9.已知角
满足
,则
等于（????? ）

A.
???? B.
????? C.
???????? D.

解析：因为
，所以
，所以
。选C.

考点：三角变换求值。

?

10.已知函数
的图像在点A
处的切线
与直线2x-y+2=0平行，若数列
的前n项和为
，则
的值为（?????? ）

A.
???? B.
???? C.
????? D.

解析：因为
，所以
，又函数
的图像在点A
处的切线
与直线2x-y+2=0平行，所以
，所以
。所以
，所以


。

选A.

考点：导数的几何意义，数列裂项相消法求和。

11.已知函数
，数列
是公差不为0的等差数列，
，则
（???? ）

A.0??????????????? B.1?????????? C.1008????????????? D.2015??

解析：因为函数
是奇函数，又
,? 且
，所以
，又因为数列
是公差不为0的等差数列，
，故
。选B.

考点：函数对称性，等差数列的性质，等差中项。

12.设
是定义在R上的奇函数，且
，当
，有
恒成立，则不等式
的解集是（?? ）

A.
??????????????? B.

C.
?????????????? D.

解析：选D。当
，有
恒成立，则
，
在
时递减，
化为
，
，画出
在
时的示意图，知
。

同理由
是定义在R上的奇函数，则
是偶函数，如图，
在
时递增，
化为
，
，所以
。综上：不等式
的解集是
。

考点：奇函数，导数，数形结合能力,转化能力。

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)

13.设
，变量x，y满足条件
，则z的最大值为????? 。

解析：作出不等式组表示的平面区域即可行域如图所示。

把
变形为
，则得到斜率为-2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线，由图可以看出，当直线
经过可行域上的点A时，截距z最大，解方程组
，得A点坐标为（5,2），所以
。

考点：线性规划。

14.在
中，AB=2，AC=3，
,则BC=?????????? 。

解析：因为
且AB=2，所以
,即
.

在
中，
,即9=4+|BC|

.

解得
.

考点：向量的数量积，余弦定理。

15.已知函数f(x)对应关系如表所示,数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),则a2015=　　　　.

x

1

2

3



f(x)

3

2

1



解析:由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,所以数列{an}是周期为2的数列,所以a2015=a1=3.

答案: 3

考点：递推公式，周期数列，识表能力。

16.设函数
的定义域为D，如果
，存在唯一的
，使
（C为常数）成立。则称函数
在D上的“均值”为C。已知四个函数：

①
?? ②
?

③
??? ④

上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是????????? 。(填入所有满足条件函数的序号)

解析： 对于①
，由
得
，即
，
时y都有唯一解。对于②
，由
得
，即
，当
时，y无解。对于③
，由
得
，即
，
时y都有唯一解。对于④
，由
得
，即siny=1-sinx，如sinx=-1时y不存在。所有填①③。

考点：函数的定义，阅读理解能力。

三 解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分）已知等比数列
中，

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
的前n项和为
，求数列{
}的前n项和
.

解析：（1）因为在等比数列
中，
，

所以
，解得：
，..........................4分

所以数列
的通项公式
。.............................5分

（2）由（1）得，数列
的前n项和为
=
，..............7分

所以数列{
}的前n项和

=
+
++
=

=
=
....................10分

考点：等比数列的通项公式，前n项和，分组求和。

18.（12分）已知函数f(x)=ex-e-x (x∈R且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.

解析：(1)∵
且y=ex是增函数，
是增函数，所以f(x)是增函数.

由于f(x)的定义域为R，且f(-x)=e-x-ex=-f(x)，所以f(x)是奇函数.................4分

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立

?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立.....................6分

?x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立?t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立?

对一切x∈R恒成立?

即存在实数
使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立......12分

考点：函数的奇偶性，单调性，抽象不等式，恒成立问题。

?

19.（12分）为了保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号，检查员抽查某一考点，在考点正西约
km有一条北偏东
方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？

?

解析：如图所示，考点A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1km，在
中，
,
,由正弦定理得：

............3分

,.......5分

所以
,BA=AC=1.

在
中，AC=AD,
.

所以
为等边三角形，CD=1.

,
在BC上需要5min，CD上需要5min。......11分

答：最长需要5min检查员开始收不到信号，并持续至少5min才算合格。.............12分

考点：正弦定理,建模能力，应用能力。

?

20.(12分）设
满足
.

（1）求函数
的对称轴和单调递减区间。

（2）设
三内角A,B,C所对边分别为a，b，c且
， 求
在

（0，A]上的值域。

解析：（1）

，................2分

因为
，所以
，

所以
，......................4分

对称轴为
，

所以函数
的单调递减区间为
。.......6分

（2）因为
，由正弦定理得，
，

可变形得，
,????????? ....................8分

所以
又
，所以
，?? ....................10分

所以

，所以所求的值域为
。...............12分

考点：三角变换，三角函数图像和性质，求角。

?

21.（12分）已知函数
，

（1）求函数
的单调区间。

（2）若函数
在
内有且仅有一个零点，求m的取值范围。

解：（1）由题可得：

...........2分

若


，

则
，

若


，

则
或

函数
的单调增区间为
，减区间为
...........5分

（2）因为函数
，
，由（1）可知，函数
的单调增区间为
，减区间为
，............7分

，

，

，

若
时，函数
有且仅有一个零点，则
，且
或
，或
，解得
或
。

即m的取值范围是
或
。................12分

考点：导数，单调区间，零点，最值，数形结合能力。

?

22.（12分）已知函数

（1）当
时，求函数
的极值。

（2）设定义在D上的函数
在点P
处的切线方程为
，当
时，若
在D内恒成立，则称点P为函数
的“转点”。当
时，问函数y=
是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）当
时，
，当
时，
或
，当
时，
，所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，所以当
时函数
取得极大值为
，当
时函数
取得极小值为-2………….5分

（2）当
时，由函数y=
在其图像上一点P
处的切线方程，得
，设
，则
，且

.....................8分

当
时，
在
上单调递减，所以当
时，
，此时
；

当
时，
在
上单调递减，所以当
时，
，此时
；

所以函数y=
在（0,2），
上不存在“转点”。..............10分

当
时，
，即
在
上单调递增。当
时，
，当
时，
,即点P
为“转点”。

故函数y=
存在“转点”。且2是“转点”的横坐标。………12分

考点：导数的几何意义，极值，导数的应用。

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org