2015---2016学年度高三期中考试数学试卷（理科）

班级 姓名 成绩

一、选择题：（本大题共有12小题，共60分）

1．已知
，则
（）.

A.
B.
C.
D.

2.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）.

A.
B.
C.
D.

3. 在极坐标系中，点
到圆
的圆心的距离为（）.

A.
B.2 C.
D

4.给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．.一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是　( )

　　A．a＜0 B．a＞0　　　　　　C．a＜-1 D．a＞1

6.下列有关命题的说法正确的是 ( )

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

7．函数y=
的图象大致为（　）

　 A．
B．
C．
D．

8.在
上定义的函数
是偶函数,且
.若
在区间
上的减函数,则
满足( ).

A.在区间
上是增函数, 在区间
上是减函数

B.在区间
上是增函数, 在区间
上是增函数

C.在区间
上是减函数, 在区间
上是增函数

D. 在区间
上是减函数, 在区间
上是减函数

9、将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有（ ）种.

A．240 B. 180 C. 150 D. 540

10 设
是定义在R上的奇函数，且
,当
时，有
恒成立，则不等式
的解集是（ ）

A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2)

11、若函数
分别为
上的奇函数、偶函数，且满足
,则有 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)


12、已知函数
（
，
为自然对数的底数）与
的图象上存在关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。）

13. 已知函数
，则
.

14在
的展开式中，
的系数是 （用数字作答）．

15 已知函数
是奇函数且是
上的增函数，若
满足不等式
，则
的最大值是___________

16. 下列几个结论：

①“
”是“
”的充分不必要条件；

②

③已知
，
，
，则
的最小值为
；

④若点
在函数
的图象上，则
的值为
；

⑤函数
的对称中心为

其中正确的是 （写出所有正确命题的序号）

三：解答题（共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. （本小题满分12分）

已知命题
:实数
满足
；命题
：实数
满足
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.

18、（本小题满分12分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
和
，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数
的分布列与期望．

19、（本小题满分12分）已知
，
，其中

（1）若
对任意实数
恒成立，求
的值。

（2）求关于
的不等式
的解集。

20 .（本小题满分12分）

已知曲线
的参数方程：
（
为参数）, 曲线
上的点
对应的参数
，以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

(Ⅰ)求曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）已知直线
过点
，且与曲线
于
两点，求
的范围．

21（本小题满分12分）

设函数
在
处取得极值，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，讨论
的单调性．

22 （本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）若
无极值点，求
的取值范围；

（Ⅱ）设
，当
取（Ⅰ）中的最大值时，求
的最小值；

（Ⅲ）证明不等式：
.

数学（理科）参考答案

一．选择题：（本大题共12个小题，每小题
分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

B

C

D

B

A

C

D

D

B



二．填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

13．1/9 14．-11 15．8 16②③④

17（本小题满分12分）

18 解：设
表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2

　　
表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2

　　则
，
独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

,
.

据此算得,
,
,
.

,
,
.

(Ⅰ) 所求概率为,　
　.

(Ⅱ) 解法一：

　　　　
的所有可能值为0，1，2，3，4，且

,

,

=
,

.[.]

.[]

综上知
有分布列

0

1

2

3

4



P

1/36

1/6

13/36

1/3

1/9



从而，
的期望为

（株）

解法二：分布列的求法同上,令
分别表示甲乙两种树成活的株数，则

,故有

从而知

19

20【解析】(Ⅰ)将点
和
代入曲线
的参数方程：
中得，
，所以
，
，所以曲线
的参数方程为
，化为普通方程为
，所以曲线
的极坐标方程
．

（Ⅱ）设直线参数方程为直线
的参数方程：
，代入到曲线
方程里，得到
，
，由韦达定理可得到
，因为
，所以

21（本小题满分13分）

设函数
在
处取得极值，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，讨论
的单调性．

解（Ⅰ）因

又
在x=0处取得极限值，故
从而

由曲线y=
在（1，f（1））处的切线与直线
相互垂直可知

该切线斜率为2，即

（3）
方程
有两个不相等实根

][]

当
函数

当
时，
故
上为减函数

时，
故
上为增函数

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