邛崃市高2013级高三第一次月考

理科数学试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
，且
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列命题中：

①命题“若
，则
或
”的逆否命题为“若
或
，则
”．

②命题p： “存在
R，使得

0”的否定是“任意
，使得
＞0”；

③回归直线方程一定过样本中心点（
）．其中真命题的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．若圆C：
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．3 D．6

6．设
为公差大于零的等差数列
的前
项和，若
，则当
取到最小值时
的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．执行下面的程序框图，如果输入的
，则输出的
（ ）

（A）
（B）
（C）7 （D）8

8．设函数
（
，
）的最大值为1，且其图象相邻两条对称轴的距离为
，若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象对应函数为
，则（ ）

A．
的图象关于直线
对称，
图象关于原点对称

B．
的图象关于点
对称，
图象关于直线
对称

C．
的图象关于直线
对称，
图象关于原点对称

D．
的图象关于点
对称，
图象关于直线
对称

9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）．

A．
B．
C．
D．

11．设
，
是双曲线

，
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点
，使得线段
的垂直平分线过原点
，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．若关于
的不等式
对任意实数
恒成立，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．若变量x，y满足
，则
的最大值为 ．

14．已知
，
，
的夹角为60°，则
_____．

15.
的展开式中
的系数是 .（用数字填写答案）

16.已知
ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且
，
，△ABC的面积为
，三棱锥O-ABC的体积为
，则球O的表面积为 ．

三：解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

17．（本小题满分12分）在△ABC中，己知
，
，又△ABC的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC的三边长；

（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求
．

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，点
是
的中点，
且交
于点
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
； （Ⅱ）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数，东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．

（1）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

（2）设
表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求
的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点
且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相交于
两点．

（1）求椭圆
的方程；（2）求
的取值范围．

21．（本题满分12分）已知函数
（
）．

（Ⅰ）若函数
在定义域内单调递增，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
，
，
（
）是
图象上的任意两点，若
，使得
，求证：
．

请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系
的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同． 已知曲线C的极坐标方程为
，斜率为
的直线
交y轴于点
．

（1）求C的直角坐标方程，
的参数方程；

（2）直线
与曲线C交于A、B两点，求
．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）a=-3时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围

邛崃市高2013级高三10月月考数学试题

理 科 数 学（参考答案）

一：选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1—5：CDDCB 6—10：ACCBB 11—12：DD

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13． 8 14．
15. 35 16.

三：解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

81．（本小题满分12分）在△ABC中，己知
，
，又△ABC的面积为6

（Ⅰ）求△ABC的三边长； （Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求
．

解：（Ⅰ）设三边分别为

由正弦定理得
，∴sin（A+C）=sinCcosA，…………2分

化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，

∴sinAcosC=0，可得
…………………4分

又

两式相除可得

令

则

三边长分别为3，4，5， ………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan∠BAC=
，由三角函数定义知tan∠DAC=
，……9分

所以tan
=tan（∠BAC-∠DAC）=
=
=
...12分

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，点
是
的中点，
且交
于点
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
； （Ⅱ）求二面角
的余弦值．

证明（Ⅰ）：
底面
，

又底面
是正方形，

平面
，

又
，
是
的中点，
，

面

由已知
，
平面
．

又
面
，
面
面
……………………… 6分

（Ⅱ）取
的中点
，则
．

作
于
，连结
．

底面
，
底面

，

为二面角
的平面角

设
，在
中
，
，

…………………………… 11分

所以二面角
的余弦值为
………………… 12分

解法2：（Ⅰ）如图，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
，由于
，

可设
，

则

，
………… 3分

，
………… 4分

，

又
且

平面
．又
平面

所以，平面

平面
……………………… 6分

（Ⅱ）
底面

是平面
的一个法向量，
…… 7分

设平面
的一个法向量为

，
，

则
得
…………………… 9分

……………… 11分

二面角
的余弦值是
……………… 12分．

19．（本小题满分12分）某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数，东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．

（1）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

（2）设
表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求
的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．

则
，
，
，
．

设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则
．

则
．……… 5分

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．

，

，

，

，

．

ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4



p















E（ξ）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＋4×
＝
＝
．12分

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点
且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相交于
两点． （1）求椭圆
的方程； （2）求
的取值范围．

解：（1）由题意知
，

．又双曲线的焦点坐标为
，
，

椭圆的方程为
．……………………………….4分

（2）若直线
的倾斜角为
，则
，

当直线
的倾斜角不为
时，直线
可设为
，

，由

设
，
，

，
，

综上所述：范围为
．……………………………………12分

21．（本题满分12分）已知函数
（
）．

（Ⅰ）若函数
在定义域内单调递增，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
，
，
（
）是
图象上的任意两点，若
，使得
，求证：
．

解：（Ⅰ）
，由已知得
在
恒成立，则
，

即