邛崃市高2013级高三第一次月考

文科数学试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I卷（选择题）

一：选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
，且
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列命题中：

①命题“若
，则
或
”的逆否命题为“若
或
，则
”．

②命题p： “存在
R，使得

0”的否定是“任意
，使得
＞0”；

③回归直线方程一定过样本中心点（
）．其中真命题的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．在等差数列{an}中，已知
，则该数列前11项和
=（ ）

A．44 B.55 C.143 D.176

6．若圆C：
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．3 D．6

7．执行下面的程序框图，如果输入的
，则输出的
（ ）

（A）
（B）
（C）7 （D）8

8．设函数
（
，
）的最大值为1，且其图象相邻两条对称轴的距离为
，若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象对应函数为
，则（ ）

A．
的图象关于直线
对称，
图象关于原点对称

B．
的图象关于点
对称，
图象关于直线
对称

C．
的图象关于直线
对称，
图象关于原点对称

D．
的图象关于点
对称，
图象关于直线
对称

9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知三棱锥
的所有顶点都在球O的球面上，△
是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且
，则此棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设
，
是双曲线

，
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点
，使得线段
的垂直平分线过原点
，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，
，则函数
的零点个数（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．若变量x，y满足
，则
的最大值为 ．

14．已知
，
，
的夹角为60°，则
_____．

15.经过圆
上一点
的切线方程为
．类比上述性质，可以得到椭圆
类似的性质为 ．

16. 已知
，若
都是从区间
任取的一个数，则
成立的概率为______．

三：解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，己知
，
，又△ABC的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC的三边长；

（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求
．

18．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形
与等腰直角
所在平面互相垂直，
为
的中点，
，
∥
，
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
； （Ⅱ）求四面体
的体积．

19．（本小题满分12分）某校在一次对是否喜欢英语学科的学生的抽样调查中，随机抽取了100名同学，相关的数据如下表所示：

不喜欢英语

喜欢英语

总计



男生

40

18

58



女生

15

27

42



总计

55

45

100





（Ⅰ）试运用独立性检验的思想方法分析：是否有99 %的把握认为“学生是否喜欢英语与性别有关？”说明理由．

（Ⅱ）用分层抽样方法在喜欢英语学科的学生中随机抽取5名，女学生应该抽取几名？

（Ⅲ）在上述抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名学生为男性的概率．

附：
=
，

0．100

0．050

0．025

0．01

0．001





2．706

3．841

5．024

6．635

10．828





20．（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点
且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相交于
两点．

（1）求椭圆
的方程；（2）求
的取值范围．

21．（本题满分12分）已知函数
．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
上的最小值是
，求
的值．

请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系
的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同． 已知曲线C的极坐标方程为
，斜率为
的直线
交y轴于点
．

（1）求C的直角坐标方程，
的参数方程；

（2）直线
与曲线C交于A、B两点，求
．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）a=-3时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围

邛崃市高2013级高三10月月考数学试题

文科 数 学（参考答案）

一：选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1—5：CDDCA 6—10：BCCBA 11—12：DB

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13． 8 14．
15.

16. 经过椭圆
上一点M（x0，y0）的切线方程为

三：解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，己知
，
，又△ABC的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC的三边长；

（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求
．

解：（Ⅰ）设三边分别为

由正弦定理得
，∴sin（A+C）=sinCcosA，…………2分

化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，

∴sinAcosC=0，可得
…………………………………4分

又

两式相除可得
令

则

三边长分别为3，4，5， ……………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan∠BAC=
，由三角函数定义知tan∠DAC=
，……9分

所以tan
=tan（∠BAC-∠DAC）=
=
=
……12 分

18．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形
与等腰直角
所在平面互相垂直，
为
的中点，
，
∥
，
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求四面体
的体积．

解:（Ⅰ）取
的中点
，连结
、
，则



,

又∵



，∴


，…………… 2分

∴四边形
是平行四边形，∴
∥
，又∵

面
且
面
，

∴
∥面
． ………… 5分

（Ⅱ）∵


，面

面
=
， ∴

面
．

∴
就是四面体
的高，且
=2． ………… 8分

∵
=
=2
=2，
∥
，∴

∴
∴
……………… 12分

19．（本小题满分12分）某校在一次对是否喜欢英语学科的学生的抽样调查中，随机抽取了100名同学，相关的数据如下表所示：

不喜欢英语

喜欢英语

总计



男生

40

18

58



女生

15

27

42



总计

55

45

100



（Ⅰ）试运用独立性检验的思想方法分析：是否有99 %的把握认为“学生是否喜欢英语与性别有关？”说明理由．

（Ⅱ）用分层抽样方法在喜欢英语学科的学生中随机抽取5名，女学生应该抽取几名？

（Ⅲ）在上述抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名学生为男性的概率．

附：
=
，

0．100

0．050

0．025

0．01

0．001





2．706

3．841

5．024

6．635

10．828



解:（Ⅰ）因为
=
≈10．882，由于10．882＞10．828，

所以有99%的把握认为“学生是否喜欢英语与性别有关”．……………… 4分

（Ⅱ）从题中给出的条件可以看出喜欢英语学科的学生共45名，随机抽取5 名，抽取的比例为
，所以，女学生应该抽取
（名）…………… 7分

（Ⅲ）抽取的5名学生中有女生3名，男生2名，记女生为
，
，
，男生为
，
，从5名学生中任取2名所有基本事件为：{
，
}，{
，
}，{
，
}，{
，
}，{
，
}，{
，
}，{
，
}，{
，