资阳市高中2013级第一次诊断性考试

数 学（理工类）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则
=

(A) {x|－2≤x＜1} (B) {x|－2≤x≤1} (C) {x|－2＜x≤1} (D) {x| x＜－2}

2．函数
定义域为

(A)
(B)
(C)
(D)

3．已知
是虚数单位，复数
=

(A) －2 (B) 2 (C) i－2 (D) 2＋i

4．给出以下四个判断，其中正确的判断是

(A) 若“
或
”为真命题，则
，
均为真命题

(B) 命题“若
且
，则
”的逆否命题为“若
，则
且
”

(C) 若x≠300°，则cosx≠

(D) 命题“
x0
R，
”是假命题

5．已知
，且
＋
=
，则
的值为

(A)
(B)
(C)
(D)

6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=2a3－a1，则该数列的公比为

(A) 2 (B)

(C) 4 (D)

7．执行右图所示的程序框图，则输出的

(A) 1023

(B) 512

(C) 511

(D) 255

8．已知x0是函数
的一个零点（其中e为自然对数的底数），若
，
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

9．已知a＞0，b＞0，且
，则a＋2b的最小值为

(A) 5＋
(B)
(C) 5 (D) 9

10．设函数
（其中a∈R）的值域为S，若
，则a的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

11．P是△ABC内一点，△ABC，△ABP，△ACP的面积分别对应记为S，S1，S2，已知
，其中
，若
，则

(A) 1 (B)
(C)
(D)

12．设
是定义在R上的增函数，其导函数为
，且满足
，下面的不等关系正确的是

(A)
(B)
(C) f(x)＞x－1 (D) f(x)＜0

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题(第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题(第24题为选考题，考生根据要求做答。

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a=(2，–1)，b=(m，3)，若a∥b，则m的值是________.

14．已知A为不等式组
表示的平面区域，则当a从–1连续变化到1时，动直线
扫过A中的那部分区域的面积为________.

15．已知数列{an}满足a1=20，
(n
N*)，则当数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n的值为________.

16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=2A，则 c 的取值范围是___________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知命题p:实数x满足不等式组
命题q:实数x满足不等式
(
).

(Ⅰ) 解命题p中的不等式组；

(Ⅱ) 若p是q的充分条件，求a的取值范围．

18（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数f(x)= a·b.

(Ⅰ) 求
的单调递增区间；

(Ⅱ) 若将f(x)的图象向左平移
个单位，再将各点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到函数
的图象．写出
的解析式并在给定的坐标系中画出它在区间
上的图象．

19.（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且
．

(Ⅰ) 求证：数列{an＋1}为等比数列；

(Ⅱ) 令bn=
，求数列{bn}的的前n项和Tn.

20.（本小题满分12分）

某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售．已知该特产的销量（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系：当零售价为80元/件时，销量为7万件；当零售价为50元/件时，销量为10万件．后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销量成反比．当销量为10万件，弹性批发价为1元/件．假设不计其它成本，据此回答下列问题．

(Ⅰ) 当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？

(Ⅱ) 当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝lnx－x，g(x)＝
ax2－a(x＋1) (其中
)，令h(x)＝f(x)－g(x)．

(Ⅰ) 当a＞0时，求函数y＝h(x)的单调区间；

(Ⅱ) 当a＜0时，若 f(x)＜g(x) 在
上恒成立，求a的最小整数值．

请考生在22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。

22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，使得
．

(Ⅰ) 求证：QA为⊙O的切线；

(Ⅱ) 若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．

23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
．

(Ⅰ) 写出直线l和曲线C的普通方程；

(Ⅱ) 已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．

24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

(Ⅰ) 当
时，解不等式
；

(Ⅱ) 若关于x的不等式
的解集为
，求证：
．

资阳市高中2013级第一次诊断性考试

数学参考答案及评分意见（理工类）

一、选择题

1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.C 8.C 9.B 10.C 11.B 12.D

二、填空题

13．–6；14．
；15．10或11；16．
．

三、解答题

17．（Ⅰ）由
，得
，得0

由
，得2

所以不等式组的解集为{x|2

（Ⅱ）因为p是q的充分条件，

所以2

令
，则有
解之得a≤9，

故a的取值范围是(－∞，9]. 12分

18．由题：f(x)=ab=

=

=

=sin(2x－
)． 4分

(Ⅰ) 由
，得
，其中
，

故单调递增区间为
，其中
． 6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)＝sin(2x－
)，则g(x)＝2sin(2x＋
)． 8分

列表得

x

0









π









π



2π









2

0

－2

0





经过描点、连线得

12分

19．（I）由
，可得S1＝2a1－1，即a1＝1， 1分

又因为
，

相减得
即
2分

所以
，

故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得到an＋1＝
，则
5分

于是bn＝
=n(
)＝n×
－n，令un＝n×
， 6分

则 wn＝
，

2wn＝
，

相减，整理得－wn＝
，

于是wn＝
， 10分

又数列{n}的前n项和为
，

所以Tn=
． 12分

20．设销量y与销售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价
与销量y的反比例函数关系为
，

由
解得

于是y=15－0.1x， 2分

由
，得a=10，于是
． 4分

（Ⅰ）当销售价为100元/件时，销量为15－0.1×100=5（万件），

此时的批发价为30＋
=32（元/件），获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）. 6分

（Ⅱ）设每一件的利润为d，

则

． 8分

而由
可得0

于是
，

当且仅当
，即x=140时取“=”．

所以当每件定价为140元时，每件的利润最大为100元． 12分

21．由题意知h(x)＝lnx－
ax2＋(a－1)x＋a，且x＞0，

则
， 2分

（Ⅰ）当a＞0时，
＜0，由
，得01，

所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 4分

（Ⅱ）由题知f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立，即h(x)= f(x)－g(x)＜0在x∈(0,－a)上恒成立．

由
，得
，x2=1，

(1)当
，即a=－1时，
在x∈(0，1)上恒成立，则h(x)在(0，1)上为增函数，h(x)＜h(1)=
＜0，所以f(x)＜g(x)恒成立． 6分

(2)当
，即－1

x

(0，1)

1

(1，
)



(
，＋∞)





＋

0

－



＋



h(x)



极大值



极小值





因为－a＜1，在区间(0,－a)上，h(x)＜h(－a)＜h(1)=
a－1＜0． 8分

(3)当
，即a<－1时，

x

(0，
)



(
，1)

1

(1，＋∞)





＋

0

－



＋



h(x)



极大值



极小值





因为－a>1，

又h(
)=ln(
)－
a×(
)2
(a－1) ＋a= ln(
)
－1＋
＋a = ln(
)＋
－1＜0， 10分

于是只需考虑h(－a)＜0即可，

即考虑h(－a)= ln(－a)－
a(－a)2＋(a－1)(－a)＋a= ln(－a)－
a3－a2＋2a＜0，

下面用特殊整数检验，

若a=－2，则h(2)=ln2＋4－8=ln2－4＜0；

若a=－3，则h(3)=ln3＋
－15= ln3－
=
＜0；

若a=－4，则h(4)=ln4＋32－24= ln4＋8＞0，

而当a≤－4时，ln(－a)＞0，现说明当a≤－4时，－
a3－a2＋2a＞0，

令u(x)＝－
x3－x2＋2x，则
＝－
x2－2x＋2，它在(－∞，－4]为增函数且
＜0，

所以u(x)在(－∞，－4]为减函数，而u(－4)＞0，

则当a≤－4时，－
a3－a2＋2a＞0恒成立．

所以，使f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立的最小整数为－3． 12分

22．选修4－1：几何证明选讲

（Ⅰ）因为
，

所以
即
，

于是
，

所以△QCA∽△QAB，

所以∠QAB=QCA，

根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线，证毕． 5分

（Ⅱ）因为QA为⊙O的切线，

所以∠PAC=∠ABC，

而AC恰好为∠BAP的平分线，

所以∠BAC=∠ABC，

于是AC=BC=15，

所以
， ①

又由△QCA∽△QAB得

， ②

联合①，②消掉QC，得QA=18． 10分

23．选修4—4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）由题，消去直线
的参数方程中的参数t得直线l的普通方程为
．

又由
得
，

由
得曲线
的直角坐标方程为
． 5分

（Ⅱ）曲线
：
可化为
，

设与直线l平行的直线为