屯溪一中2016届高三月考学

文科数学

本试卷共4页,22小题,满分150分.考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合
，则
（ ）

A．集合
B．集合
C．
D．

2．已知复数z满足（1﹣i）z=i2015（其中i为虚数单位），则
的虚部为（　　）

A．
B．﹣
C．
i D．﹣
i

3．已知不共线向量
，
，|
|=|
|=|
﹣
|，则
+
与
的夹角是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

4．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣
，﹣1），则sin（2α﹣
）=（　　）

A．
B．﹣
C．
D．﹣

5．执行如图所示的程序框图，若输入数据n=3，a1=1，a2=2，a3=3，则输出的结果为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．设函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，

则g（x）=loga（x+k）的图象是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

7.直线
与抛物线
:
交于
两点，点
是抛物线
准线上的一点，

记向量
，其中
为抛物线
的顶点.

给出下列命题：①
，
不是等边三角形；②

且
，使得向量
与
垂直；

③无论点
在准线上如何运动，
总成立.其中，所有正确命题的序号是 ( )

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

8．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x的解集为（　　）

　 A．
B．
C．
D． （10，+∞）

9．棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（　　）

A．
B．
C．4 D．3

10．已知函数f（x）=
，设方程f（x）=2
的根从小到大依次为x1，x2，…xn，…，n∈N*，则数列{f（xn）}的前n项和为（　　）

A．n2 B．n2+n C．2n﹣1 D．2n+1﹣1

11. 已知函数
，则下列关于
的零点个数判别正确的是（ ）

A.当
时，有无数个零点 B.当
时，有3个零点

C.当
时，有3个零点 C.无论
取何值，都有4个零点

12．在长为
的线段
上任取一点
，并且以线段
为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于
与
之间的概率为 （ ）

．

．

．

．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知a＞0，b＞0，方程为x2+y2﹣4x+2y=0的曲线关于直线ax﹣by﹣1=0对称，则
的最小值为　 　．

14．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　 　．

15．设不等式组
所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于:

16．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD'的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的有: （请将符合题意的序号都填上）

①四边形BFD′E一定是平行四边形 ②四边形BFD′E有可能是正方形

③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形 ④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D．

三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本题满分12分）已知△ABC的面积为
，且
，向量
和
是共线向量.

(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求
的长.:

18．某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．

（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；

（Ⅱ）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．

19．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．

（1）求证：CD⊥平面ADP；

（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥PC时，求三棱锥B﹣APM的体积．

20.已知数列
的前
项和为
,若
(
),且
.

(1) 求证：数列
为等差数列；

（2) 设
,数列
的前
项和为
,证明:
(
).[:]

21．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）上的点到焦点距离的最大值为
+1，离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足
+
=t
（O为坐标原点），当|
﹣
|＜
时，求实数t的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22.（选修4—1：几何证明选讲）

如图，在
中，
，
的外接圆圆O的弦
交
于点D

求证：
∽



23. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，圆C的参数方程为
.在极坐标系（与平面直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点O为极点，以
轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为

(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

24. 选修4-5：不等式选讲

设
，且
.

（1）
；

（2）
与
不可能同时成立.

解答

1. C

2. A 解：∵i4=1，∴i2015=（i4）503?i3=﹣i，∴（1﹣i）z=i2015=﹣i，

∴
=
=
，∴
=
，则
的虚部为
．故选：A．

3. D 解答： 解：∵不共线向量
，
，|
|=|
|=|
﹣
|，∴以
，
为边的平行四边形为菱形，且∠BAC=
， 则
+
与
的夹角为∠BAD=
，故选：D

4. D 解答： 解：∵角α的终边过点P（﹣
，﹣1），∴α=
+2kπ，

∴sin（2α﹣
）=sin（4kπ+
﹣
）=﹣
， 故选：D．

5. C 解答： 解：由框图知，开始得到：n=3，a1=1，a2=2，a3=3，

第一次循环得到：S=1，k=2， 第二次循环得到：S=
，k=3，

第三次循环得到：S=2，k=4， 满足条件k＞3，退出循环，输出S的值是2．故选：C．

6. C 解答： 解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数

则f（﹣x）+f（x）=0 即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0 则k=1

又∵f（x）=a﹣x﹣kax（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数 则a＞1

则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）

函数图象必过原点，且为增函数 故选：C．

7. D

8. B 解答： 解：构造函数g（x）=f（x）﹣x，

则函数的导数g′（x）=f′（x）﹣1，∵f′（x）＜1， ∴g′（x）＜0，

即函数g（x）单调递减，

∵g（1）=f（1）﹣1=0， ∴若g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，

则不等式f（1g2x）＜1g2x等价为f（1g2x）﹣1g2x＜0，

即g（1g2x）＜0，则1g2x＞1，则lgx＞1或lgx＜﹣1， 解得x＞10或0＜x＜
，

故不等式的解集为
，故选：B

9. C 解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，

而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是
=4， 故选C．

10. C 解答： 解：函数f（x）=
的图象如图所示，

x=1时，f（x）=1，x=3时，f（x）=2，x=5时，f（x）=4，

所以方程f（x）=2
的根从小到大依次为1，3，5，…，数列{f（xn）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，

所以数列{f（xn）}的前n项和为
=2n﹣1， 故选：C．

11. A

12. D

13. 9 解答： 解：由题意可得直线ax﹣by﹣1=0过圆x2+y2﹣4x+2y=0的圆心（2，﹣1），

∴2a+b﹣1=0，即2a+b=1，∴
=
+
=（
+
）（2a+b）=5+
+
≥5+2
=9

当且仅当
=
即a=b=
时取等号．∴
的最小值为9 故答案为：9

14. m≥4． 解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，

∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，

∴q：3﹣m≤x≤3+m，∴￢q：x＞3+m或x＜3﹣m，

若￢q是￢p的充分不必要条件，

则
，解得：m≥4，

15. 4 解：由题意知，所求的|AB|的最小值，

即为区域Ω1中的点到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值的两倍，

画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离最小，

故|AB|的最小值为
，

16. ①③④ 解答： ①∵四边形BFD′E与面BCC′B′的交线为BF，与面ADD′A′的交线为D′E，且面BCC′B′∥面ADD′A′的交线为D′E，

∴BF∥D′E，同理可证明出BE∥D′F， ∴四边形BFD′E一定是平行四边形，

故结论①正确．

②当F与C′重合，E与A点重合时，BF显然与EB不相等，不能是正方形，

当这不重合时，BF和BE不可能垂直，综合可知，四边形BFD′E不可能是正方形

结论②错误．

③∵四边形BFD′E在底面ABCD的投影是四边形A′B′C′D′，

故一定是正方形，③结论正确．

④当E，F分别是AA′，CC′的中点时，

EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，

BB′⊥面ABCD，AC?面ABCD，

∴BB′⊥AC，∴BB′⊥EF，

∵BB′?面BDD′B′，BD?面BDD′B′，BD∩BB′=B，

∴EF⊥面BDD′B′，

∵EF?四边形BFD′E，平面BB′D?面BDD′B′，

∴面形BFD′E⊥面BDD′B′．故结论④正确．

17．【解】（I）因为向量
和
是共线向量，

所以
， …………………………2分

即sinAcosB+cosAsinB－2sinCcosC=0，

化简得sinC－2sinCcosC=0，即sinC(1－2cosC)=0. …………………………4分

因为
，所以sinC>0，从而
，
…………………………6分

（II）
，于是AC
. ………………8分

因为△ABC的面积为
，所以
，

即
，解得
…………………… 10分

在△ABC中，由余弦定理得

所以
……………………… 12分

18. 解：（Ⅰ）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为A1，B1，C1；A2，B2，C2

则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有（A1，A2），（A1，B2），（A1，C2），（B1，A2），（B1，B2），（B1，C2），（C1，A2），（C1，B2），（C1，C2）共9种， …………………… 4分

其中选出的两个表演项目相同的事件3种，所以
…………………… 6分

（Ⅱ）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为:

a1，b1，b2，c1，c2，c3则从甲社区表演队中选2人的基本事件有:（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15种 …………………… 10分

其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9种，所以
…………………… 12分

19. 解答： （1）证明：因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，

所以平面ADP⊥平面ABCD． …………………………（2分）

又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，

所以CD⊥平面ADP． …………………………（4分）

（2）取CD的中点F，连接BF，

在梯形ABCD中，因为CD=4，AB=2，所以BF⊥CD．

又BF=AD=4，所以BC=
．

在△ABP中，由勾股定理求得BP=
．

所以BC=BP． …………………………（7分）

又知点M在线段PC上，且BM⊥PC，

所以点M为PC的中点． …………………………（9分）

在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q，连接QB，QA，

则V三棱锥B﹣APM=V三棱锥M﹣APB=V三棱锥Q﹣APM=V三棱锥B﹣APQ=
=
………（12分）

20.解(Ⅰ) 由题设
,则
，

.

当
时，
,

两式相减得
, …………………2分

方法一：由
，得
，且
.

则数列
是常数列，即
，也即
……………………6分

所以数列
是首项为
,公差为
的等差数列 ………………………7分

方法二：由
，得
，

两式相减得
,且
…………………6分

所以数列
等差数列. …………………7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得
,
,
, …………………9分

当
时,
成立；………………………………………………………10分

当
时,
…………………12分

所以

综上所述,命题得证. ……………………14分

21. 解答： 解：（Ⅰ）由题意知
，可得a=
，c=1；

从而b2=a2﹣c2=1，

所以椭圆C的方程为
+y2=1；

（Ⅱ）由题意知，直线AB的斜率存在，

设AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1）B（x2，y2）；

由
，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

根据条件可知△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得k2＜
，

由韦达定理，可得
， 又由
+
=t
，得（x1+x2，y1+y2，）=t（x，y）；

所以
，

点P在椭圆上，得[
]2+2[
]2=2，化简可得16k2=t2（1+2k2），即t2=
，

又由|
﹣
|＜
，得
|x1﹣x2|＜
，即得

＜
，

变形可得，（1+k2）[
﹣4×
]＜
，化简可得（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，

解可得k2＞
，所以
＜k2＜

，而t2=
=8﹣
，得
＜8﹣
＜4，

解可得﹣2＜t＜﹣
或
＜t＜2，

所以实数t的范围为（﹣2，﹣
）∪（
，2）．

22. 【答案】：因为
，所以
．

又因为
，所以
，

又
为公共角，可知
∽
．

23. 【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)
．

【解析】(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为
,

由
，得
,所以直线l的直角坐标方程为
.

(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即：
解得

24.解析：由
，
，
，得
，