天津一中2015—2016学年度高三年级

第一次月考数学（理科）学科试卷

一.选择题

1. 已知全集
，
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】B

2.执行右面的程序框图，若
，则输出的
=( )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C．

3.已知
，“函数
有零点”是“函数
在
上为减函数”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

4 ．已知函数
的导函数为
，且
，则
( )

A．
B．
C．
D．

【答案】A

5.若把函数
图象向左平移
个单位，则与函数
的图象重合，则
的值可能是

A．
B．
C．
D．

【答案】B

6. 已知函数
则使函数
有零点的实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

7.设
，则多项式
的常数项（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

8. 已知
上恒成立，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

【答案】B

二.填空题

9. 复数满足
，其中
为虚数单位，则复数
=

【答案】

10. 右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 .

10．【答案】

11. 已知点
在曲线
上，
为曲线在点
处的切线的倾斜角，则
的取值范围是___________________

【答案】
或

12.直线
（极轴与
轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线
被圆
截得的弦长为
，则实数
的值为 .

【答案】
或

13.如图,
是圆
上三个点,
是
的平分线,交圆
于
,过
作直线
交
延长线于
,使
平分
. 若
则
的长为

【答案】DE=
.

14.在边长为
的正三角形
中,
,
，若
，则
的值为

【答案】3

三.解答题

15. 已知函数
，
．求：

(I) 求函数
的最小正周期和单调递增区间；

(II) 求函数
在区间
上的值域．

15．【解】(I)：

　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴最小正周期
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∵
时
为单调递增函数

∴
的单调递增区间为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

(II)解: ∵
，由题意得:
∴
，

∴
，∴

∴
值域为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

16.某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为
，且
，求：

（1）植树小组的人数；

（2）随机变量
的数学期望。

解：（1）设植树小组共有
人，两品种均栽培的有
人，

则恰栽一品种的人数为
人………………………………………………2分

∵
∴
…………………………………………4分

整理为：
∴
即植树小组有
人………………6分

（2）依（1）有：恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人

……………………………………………………8分

……………………………………………………10分

…………………………………………………13分

17.在
中，角A、B、C所对的边分别为
，且

（I）求角C的大小；

（II）若
，
的面积
，求
、
的值.

18.设函数
（其中
=2.71828…），
，已知它们在
处有相同的切线．

（Ⅰ）求函数
，
g的解析式；

（Ⅱ）求函数
在
上的最小值；

解：（Ⅰ） f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分

由题意，两函数在x=0处有相同的切线．

∴f'（0）=2a，g'（0）=b，

∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，

∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分

（Ⅱ） f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，

∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分

∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2

①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在单调递减，单调递增，

∴
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分

②当t≥﹣2时，f（x）在单调递增，∴
；

∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分

19.已知数列
中，
且
。

（1）设
，证明
是等比数列；

（2）求数列
的通项公式；

（3）若
是
与
的等差中项，求
的值，并证明：对任意的
，
是
与
的等差中项。

20.已知函数

（Ⅰ）若
为
的极值点，求实数
的值；

（Ⅱ）若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
时，方程
有实根，求实数
的最大值.

即
，所以
因为
，所以
.

综上所述，a的取值范围为
………10分

（Ⅲ）当
时，方程
可化为

问题转化为
在
上有解，即求函数
的值域 ………11分

因为函数
，令函数
， ………12分

则
，

所以当
时，
，从而函数
在
上为增函数，

当
时，
，从而函数
在
上为减函数，

因此
………13分

而
，所以
，因此当
时，b取得最大值0. ………14分

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