沈阳二中2015-2016学年度上学期10月份小班化学习成果

阶段验收　高三（16届）数学(理科)试题

说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分；

2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的对应位置上

第Ⅰ卷(60分)

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）

1. 已知
为两个不相等的实数，
表示把M中元素
映射到集合N中仍为
，则
等于（　　）

A．1　　　 B．2 　C．3 D．4

2. 已知向量a、b不共线，c
a
b
R),d
ab,如果c
d，那么（　）

A．
且c与d同向 B．
且c与d反向

C．
且c与d同向 D．
且c与d反向

3.
等于（　　）

A．
B. 2 C.
－2 D.
＋2

4. 已知△ABC和点M满足
.若存在实数m使得
成立，则m＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5. 已知命题

：函数
在R为增函数，　　
：函数
在R为减函数，则在命题
：
；　　
：
；　　
：
　和　
：
　中，

真命题是（　　）

A．
，
B．
，
C．
，
（D）
，

6. 如果函数
的图像关于点
中心对称，则
的最小值为（　　）

A．
B．
C．
D．
.m

7. 函数
的一个单调增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知非零向量
与
满足
且　·＝ ，则△ABC为（　　）

A．三边均不相等的三角形 　　B．直角三角形

C．等腰非等边三角形 D． 等边三角形

9.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞
” 的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．定义在R上的偶函数
满足
，当
时，
，则（　　）

A．
　　　B．

C．
　　　 D．

11．若
，
，则
＝（　　）

A．2 B．3 C．6 D． 9w

12．在△ABC中，A，B，C所对应边长分别为
，若
等于AC边上的高
，那么

的值是（　　）

A．1 B．
C．
D．－1.

第Ⅱ卷(90分)

二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若函数
有两个零点，则实数
的取值范围是 .

14．如果
，则m的取值范围是_______

15. 设
表示不大于
的最大整数，集合
，
，

则
_________________.

16．已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使

对一切实数
均成立，则称
为“海宝”函数. 给出下列函数：

①
；②
；③
；④

其中
是“海宝”函数的序号为 ．

三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分10分）

函数
的定义域为A，
的

定义域为B.

（Ⅰ）求A

（Ⅱ）若
，求实数
的取值范围.

18.（本小题满分12分）

已知向量
，

函数
的最大值为6．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）将函数
的图像向左平移
个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，求
在
上的值域．

19. （本小题满分12分）

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.　某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
且与点A相距40
海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
+
(其中sin
=
，
)且与点A相距10
海里的位置C.

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；

（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，

判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

20.（本小题满分12分.）

　 设函数
曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点

处的切线垂直于y轴.

（Ⅰ）用a分别表示b和c；

（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数
的单调区间.

21. （本小题满分12分）

已知
在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数
的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于
的方程
的两个非零实根为
.试问：是否存在实数
，使得不等式
对任意
及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.

22. （本小题满分12分）

已知函数
，其中
，
为常数.

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）当
时，证明：对任意的正整数
,当x≥2时，有
.

沈阳二中2015-2016学年度上学期10月份小班化学习成果阶段验收高三（16届）数学(理科)试题答案

一．1 D 2D 3D 4B 5C 6A 7A 8D 9B 10C

11 C 12A

二．13.
14.
15.
16. ③

三．(17).解:

（Ⅰ）2－
≥0, 得
≥0, x<－1或x≥1　　即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)…2分

（Ⅱ）由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.

∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). …4分

∵B
A, ∴2a≥1或a+1≤－1,

即a≥
或a≤－2, 而a<1,

∴
≤a<1或a≤－2, …8分

故当B
A时, 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[
,1)…………10分

(18)解：（Ⅰ）
＝
＝

　　　　　　　　　　　　　＝

因为
，由题意知
．…5分

（Ⅱ）由（I）知，

将
的图象向左平移
个单位后得到

的图象；……………（7分）

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，

得到
的图象．

因此
， ……………（9分）

因为
，

所以
，　　　所以
，

所以
在
上的值域为
．…………………（12分）

(19)解 :（I）如图，AB=40
，AC=10
，

由于
<
<
，所以cos
=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为
（海里/小时）. ……………5分

（II）

如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q，

在
中，由余弦定理得：

从而
,

在
中，由正弦定理得：

…9分

由于
,所以点
位于点
和点
之间，

且
,

过 点
作
于点
,则
为点
到直线
的距离.

在
中，

所以船会进入警戒水域。……………12分

(20)解：

(Ⅰ)因为

又因为曲线
通过点（0，2a+3）,

故

又曲线
在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故

即-2a+b=0,因此b=2a. ……………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

故当
时，
取得最小值-
.

此时有
……………6分

从而

所以

令
，解得
……………8分

当

当

当

由此可见，函数
的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；

单调递增区间为（-2，2）. ……………12分

(21) .解：

（Ⅰ）f＇(x)=
=
，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①

设
(x)=x2－ax－2，

①


－1≤a≤1，

∴A={a|－1≤a≤1}. ……………5分

（Ⅱ）由
=
，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0

∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，

从而|x1－x2|=
=
.

∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=
≤3. ……………7分

要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②……………9分

设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，

②
g(－1)=m2－m－2≥0，

g(1)=m2+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.……………12分

(22).解：

（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，……………1分

当n=2时，

所以
…………2分

（1）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. …………3分

（2）当a＞0时，由f(x)=0得
＞1，
＜1，

此时 f′（x）=
.

当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；

当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.

综上所述，n=2时，

当a＞0时，f(x)在
处取得极小值，极小值为

当a≤0时，f(x)无极值. ……6分

（Ⅱ）证法一：

因为a=1,所以

当n为偶数时，

令

则 g′（x）=1+
＞0（x≥2）.

所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又 g(2)=0

因此
≥g(2)=0恒成立，

所以f(x)≤x-1成立. ……9分

当n为奇数时，

要证
≤x-1,由于
＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,

令 h(x)=x-1-ln(x-1),

则 h′（x）=1-
≥0（x≥2）,

所