福州八中2015—2016学年高三毕业班第二次质量检查

数学(理)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.10.8

一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共12小题，每小试题5分，共60分）

1．已知全集U=R，集合
，则
=

A．
B．
C．
D．

2．
成立是
成立的（ ）条件.

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

3．已知命题
：函数
的最小正周期为
；命题
：若函数
为偶函数，则
关于
对称.则下列命题是真命题的是

A．
B．
C．
D．

4．已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴正半轴重合，终边在直线
上，则
等于

A．
B．
C．
D．

5．
,若
，且
，则
的周长等于

A．
B.12 C.10+
D.5+

6．若椭圆
的面积为
，则

A．
B．
C．
D．

7．函数
的图象大致为

8．设点P是函数
图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．已知

，满足
，
，
，则
在区间
上的最大值与最小值之和为

A．-3 B．3 C．
D．

10．定义在区间[0,1]上的函数
的图象如图所示，以
、
、
为顶点的(ABC的面积记为函数
,则函数
的导函数
的大致图象为

11．已知函数
的部分图像如图所示，A、B、C分别是函数图像与
轴交点、图像的最高点、图像的最低点．若
，且
．则
的解析式为

A．

B．

C．

D．

12．设集合
是实数集
的子集，如果点
满足：对任意
，都存在
，使得
，那么称
为集合
的聚点，用
表示整数集，下列四个集合：①
，②
，③
，④整数集
．其中以0为聚点的集合有（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）

13．若
，则tan
= ___________ .

14．若函数
在R上有两个零点，则实数a的取值范围是__________.

15．定义在R上的函数
满足：
的导函数，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为___________.

16．圆
的半径为
，
为圆周上一点，现将如图放置的边长为
的正方形（实线所示 ，正方形的顶点
和点
重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点
第一次回到点
的位置，则点
走过的路径的长度为 ．

三、解答题：（6小题，共70分）

17．（本小题10分）已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小值；

（Ⅱ）已知
，命题
关于
的不等式
对任意
恒成立；命题
函数
是增函数，若“
或
”为真，“
且
”为假，求实数
的取值范围．

18．（本小题12分）已知函数
，其中
，
.

（Ⅰ）当
时，求
在区间
上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若
，求
，
的值．

19．（本小题12分）已知函数
（其中
）．当
时，函数
有极大值
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）任取
，
，证明：
．

20．（本小题12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：
且a、b、c成等比数列，

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若
，判断三角形形状.

21．（本小题12分）已知函数
（
）.

（Ⅰ）若函数
图象上的点都在不等式组
表示的平面区域内，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若函数
在
上有零点，求
的最小值.

22．（本小题12分）设函数
，其中
，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（Ⅲ）若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．

福州八中2015—2016学年高三毕业班第二次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共12小题，每小试题5分，共60分）

1. D2. A3. B4. B5. A6. D7. C8. C9. A10.D11. A12. B

二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）

13.

14.

【解析】考查
和
的交点情况，由于直线
的方向确定，画出图象易知，当直线
和
相切时，仅有一个公共点，这时切点是
，切线方程是
，将直线
向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点.

15．

16.
．

三、解答题：（6小题，共70分）

17.【解析】（本小题10分）（Ⅰ）结合图象，知函数
在
处取得最小值
；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，解得

命题
……………………3分

对于命题
，函数
是增函数，则
则

命题
：
或
……………………6分

由“
或
”为真，“
且
”为假可知有以下两种情形：

若
真
假，则
，解得：
；…………8分

若
假
真，则
，解得：
或

故实数
的取值范围是：
，或
，或
.…………10分

18.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）当
时，

……………………3分

因为
，从而
，………………4分

故
在
上的最大值为
，最小值为－1……………………6分

（Ⅱ）由
，得
………………8分

又
知
解得
．………………12分

考点：
的综合应用

19.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题知
，解得
…2分

（Ⅱ）由题可知函数
的定义域为
，

又
……………………4分

由
得
；
得
；

故函数
单调增区间为
，单调减区间为
…………………………7分

（Ⅲ）因为
，由（1）知函数
的单调减区间为
，故
在
上单调递减，

；…………………………8分

； ……………………9分

①………………11分

依题意任取
，欲证明
，只需要证明

，

由①可知此式成立，所以原命题得证．………………12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求最值；3.利用导数证明不等式．

20.【解析】（Ⅰ）∵

∴
………………2分

又∵
………………4分

∴
而
成等比数列，所以
不是最大

故B为锐角，所以
…………………………6分

（Ⅱ）由
，则
，……8分

所以
，

又因为
所以
………………………………10分

所以，三角形ABC是等边三角形.………………12分

考点：1.三角函数基本公式；2.同角间三角函数关系；3.正弦定理解三角形

21.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题意可知，

在
上恒成立，…………2分

令
，则
，代入得
在
上恒成立，即
，即
对
恒成立，即
在
上恒成立，………………………………4分

此时，只需
且
，所以有
.……………………6分（Ⅱ）

（II）依题意：
在
上有解，

即
，令
，则
，代入得方程
在
上有解，………………………………8分

设
（
），

当
，即
时，只需
，
的几何意义就是表示点
到原点
距离的平方，在此条件下，有
；………………10分

当
，即
时，只需
，即
，即
，
的几何意义就是表示点
到原点
距离的平方，在此条件下，有
.

所以，
的最小值为
.……………………12分

22.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）
，

，

，

，
……2分

（Ⅱ）
，设
，
，

则
，
，…………4分

在
上单调递增，
，
在
上单调递增，

．
．………………6分

（Ⅲ）设
，
，

由（Ⅱ）中知
，

，

，………………8分

①当
，即
时，
，
在
单调递增，

，成立．………………10分

②当
，即
时，
，

，令
，得
，

当
时，
，
在
上单调递减，

，不成立．

综上，
．………………12分

考点：（1）导数的运算及其几何意义；（2）利用导数求函数的最值及分类讨论思想的应用；（3）构造函数的应用，注意小步设问寻找解决问题的突破口。

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