福州八中2015—2016学年高三毕业班第二次质量检查

数学(文)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.10.8

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合
,
,则

A．
B．

C．
D．

2．“
”是“
”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列函数中,既是偶函数,又在区间
内是减函数的为

A．
B．

C．
D．

4．已知向量
，
的夹角为
，且
，
，则
＝

A．
B．

C．
D．

5．将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
,则
具有性质

A．最大值为
,图象关于直线
对称

B．在
上单调递增,为偶函数

C．在
上单调递增,为奇函数

D．周期为
,图象关于点
对称

6．等比数列
的前n项和
，则

A、
B、0 C、
D、

7．已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）
体积为
，底面边长为
．若
为底面
的中心，则
与平面
所成角的大小为

A．
B．
C．
D．

8．数列
中
,则
的最大值为

A.3 B.5 C.7 D.9

9．在
中,
,
,
,
为
边上的高,
为
的中点,若
,则
的值为

A．
B．
C．
D．

10．双曲线
的左焦点与抛物线
的焦点的连线平行于该双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为

A．2 B．
C．
D．

11．函数
,其中
,若动直线
与函数
的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为
、
、
,则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12．设过曲线
上任意一点处的切线为
，总存在过曲线
（
为自然对数的底数）上一点处的切线
，使得
∥
，则实数
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知向量
，
，则
．

14．设
则
的大小关系是 ．(按从小到大顺序)

15．已知直线
与圆C：
相交于
两点,若
,则
= ．

16．已知函数
有两个极值点
，若
，则关于
的方程
的不同实根个数为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

已知等差数列
满足：
，
，
的前
项和为
．

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）令

(
)，求数列
的前
项和
．

18．（本小题满分12分）

已知角
、
、
是
的内角，
分别是其对边长，向量
，
，
。

（1）求角
的大小；

（2）若
求
的长。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的中点。

（1）若
，求证：平面
平面
；

（2）点
在线段
上，
，试确定实数
的值，使得
∥平面
。

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
上的点
到左右两焦点
的距离之和为
，离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过右焦点
的直线
交椭圆于
两点，若
轴上一点
，满足
，求直线
的斜率
的值.

21.（本小题满分12分）已知函数

（I）讨论
的单调性；

（II）当
有最小值，且最小值大于
时，求
的取值范围.

22.（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）若
，求
的值域；

（Ⅱ）若存在实数t，当
，
恒成立，求实数
的取值范围．

稿 纸

福州八中2015—2016学年高三毕业班第二次质量检查

数学(文)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.C 8.C 9.A 10.B 11.C 12.D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.
14.
15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本题满分10分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为d，因为
，
，所以有

，解得
， ………………………………3分

所以
；
=
=
。………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以bn=
=

=
，

所以
=
=

，

即数列
的前n项和
=
。……………10分

18．（本小题满分12分）

解:（1）

0

　　　　　……………………………………3分

　　………………………………………………5分

∵
…………………………7分

．　　　……………………………………………………8分

（2）在
中，
，
，

………………………………10分

由正弦定理知：
…………………………………………11分

=
．


…………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）．连
，四边形
菱形

，

………………2分

为
的中点，

又

，………………4分

…………6分

（2）．当
时，使得
……………7分

连
交
于
，交
于
，则
为
的中点，

又

为
边
上中线，

为正三角形
的中心，

令菱形
的边长为
，则
，
。

…………………10分

即：

。 ………………12分

20.（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）
，∴
………………………1分

，∴
，∴
………………3分

椭圆的标准方程为
………………………………………4分

（Ⅱ）已知
,设直线的方程为
，

联立直线与椭圆的方程
，化简得：

∴
，
………………………………7分

∴
的中点坐标为

①当
时，

∵
，∴
，解得
…………………10分

②当
时，
的中垂线方程为
，满足题意. ……………………11分

∴斜率
的取值为
. …………12分

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
的定义域为
…………1分

若
则
所以
单调递减。 ……………2分

若
，则当
时，
当
时，
所以
在
单调递减，在
单调递增。 ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，
无最小值；

当
时，
在
取得最小值，最小值为
…………6分

因此
，等价于
………7分

令
，则
在
单调递增， …………9分

因为

于是，当
时
；当
时，
……………11分

因此，
的取值范围是
了 ……………………………12分

22.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得，当
时，
，
，

∴此时
的值域为

当
时，
，
，

∴此时
的值域为

当
时，
，
，

∴此时
的值域为
………………………4分

（Ⅱ）由
恒成立得
恒成立

令
，
，因为抛物线的开口向上，

所以

由
恒成立知
，化简得
…………6分

令
，则原题可转化为：存在
，使得

即当
时，
． …………………………………7分

的对称轴为
，

当
，即
时，
，

解得
………………………9分

当
，即
时，

解得
………………………11分

综上，
的取值范围为
． ……………………………12分

考点：（1）二次函数在闭区间上的最值（2）函数恒成立问题

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