福州八中2015—2016学年高三毕业班第一次质量检查

数学(文)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.8.28

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设全集
，集合
，则

A.
B.

C.
D.

2、已知命题p: 已知实数
，则
是
且
的必要不充分条件，命题
:在曲线
上存在斜率为
的切线，则下列判断正确的是

A．
是假命题 B．
是真命题

C．
是真命题 D．
是真命题

3、从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为

A. B. C. D.

4、已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=

A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

5、函数
的值域是

A．(0，–2] B．[–2，+∞) C．(–∞，–2] D．[2，+∞)

6、若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是

A. B. C. D.

7、若
是不相同的空间直线，
是不重合的平面，则下列命题正确的是

A.
B.

C.
D.

8、已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=
,则{an}的前10项和等于

A.-6(1-3-10) B.(1-310) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)

9、已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为

A. 4x2–12y2=1 B. 4x2–
y2=1 C. 12x2–4y2=1 D.

10、已知
，不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

11、如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是

A．（
） B．（1，2）

C．（
，1） D． （2，3）

12、已知函数
，若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13、已知函数
的定义域为[-1，1]，则
的定义域为 ．

14、如图，在正方体
中，给出以下四个结论：

①
∥平面
； ②
与平面
相交；

③AD⊥平面
； ④平面
⊥平面
．

其中正确结论的序号是 ．

15、已知一扇形的圆心角为
，所在圆的半径为R，若扇形的周长是一定值C，该扇形的最大面积为 ．

16、
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集是 .

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18、(本小题满分12分)已知函数
，

（1）若
，求
在区间
上的最小值；

（2）若
在区间
上有最大值
，求实数
的值．

19.(本小题满分12分)已知

（1）若
，求
的值；

（2）求函数的最小正周期，并求当
时，
的取值范围．

20、(本小题满分12分)如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=
，M是

线段B1D1的中点．

（1）求证：BM∥平面D1AC；

（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．

21、(本小题满分12分)设
分别为椭圆
的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,
)到F1，F2两点的距离之和等于4.

⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；

⑵过点P（1，
）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;

⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.

22、(本小题满分14分)已知函数f（x）=x3+2ax﹣（2a+3）x+a2，（a∈R）．

（Ⅰ）当
时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，恒有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．

稿 纸

福州八中2015—2016学年高三毕业班第一次质量检查

数学(文)试卷参考答案及评分标准

一.DCBBB CCCDA CD

二、13、
； 14、①④； 15、
； 16、

三、17、解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，

当a＝1时，解得1

由，得2

若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2

(2)p是q的必要不充分条件，即q?p且p
q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A
B，

又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；

a<0时，A＝(3a，a)．

所以当a>0时，有解得1

当a<0时，显然A∩B＝?，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是1

18、解：（1）若
，则

函数图像开口向下函数的对称轴为
，

所以函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，

有又
，

……………………5分

（2）由题意得：函数的对称轴为

当
时，函数在
在区间
上是减少的，则

，即
；

当
时，函数
在区间
上是增加的，在区间
上是减少加的，则

，解得
，不符合；

当
时，函数
在区间
上是增加的，则

，解得
；

所以
或
． ……………………12分

解：（1）

……………………6分

（2）

∴
的的最小正周期为
……………………9分

∴
的取值范围是
……………………12分

20、（Ⅰ）连接D1O，如图，

∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，∴四边形D1OBM是平行四边形，

∴D1O∥BM．

∵D1O
平面D1AC，BM？平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．……………………5分

（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，
，∴
，OB1=2，D1O=2，

则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．又∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，且BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O
平面BDD1B1，∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，

∴D1O⊥平面AB1C，即D1O为三棱锥D1﹣AB1C的高．

∵
，D1O=2

∴
．

……………………12分

21、解⑴椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；

又点A(1,
) 在椭圆上，因此
得b2=1，于是c2=3；

所以椭圆C的方程为
，……………………3分

⑵∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，

∴设D(x1,y1),E(x2,y2)，代入椭圆C的方程得

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×
(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1

∴DE方程为y-1= -1(x-
),即4x+4y=5;……………………7分

(3)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得

（m2+4)y2+2my-3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-
, y1y2=-
,且△>0成立.

又S△OMN=
|y1-y2|=
×
=
，设t=
≥
,则

S△OMN=
,(t+
)′=1-t-2>0对t≥
恒成立，∴t=
时t+
取得最小，S△OMN最大，

此时m=0,∴MN方程为x=1 ……………………12分

22.解（Ⅰ）当
时，
，

∴f′（x）=3x2+x﹣4，∴f′（0）=﹣4，又f（0）=
，

∴切线方程为
； ……………………4分

（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（3x+2a+3）（x﹣1）

令f′（x）=0，得x=1或
，

要使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，

必须有
，

解得a＜﹣3； ……………………8分

（Ⅲ）由题意知，即使x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＞0．

讨论①当
，即a≤﹣3时，f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
，得a＞﹣1或a＜﹣2，

由此得：a≤﹣3；

②当
，即﹣3＜a＜0，

f（x）在
为增函数，在
上为减函数，

所以（f（x））min=min{f（﹣1），f（1）}，

得
解得a＞2或a＜﹣2，

由此得﹣3＜a＜﹣2；

③当
，即a≥0，f（x）在x∈[﹣1，1]上为减函数，

所以
得a＞2或a＜﹣1，由此得a＞2；

由①②③得实数a的取值范围为a＞2 ……………………14分

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