福州八中2015—2016学年高三毕业班第一次质量检查

数学(理)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.8.28

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。

1.下列四组函数中，表示同一函数的是

A. y＝x－1与y＝ B. y＝与y＝

C. y＝4lg x与y＝2lg x2 D. y＝lg x－2与y＝lg

2. 设集合
，则A∩B的子集的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

3．若集合A＝{x|2

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 已知p：?x0∈R，mx＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为

A．m≤－2 B．m≥2

C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2

5.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是

A．16 B．24 C．36 D．48

6.若
的展开式中
的系数是80，则实数a的值为

A．-2 B．
C．
D．2

7.不等式组
的解集为D,有下面四个命题：

，
，

，其中真命题的是

A.
B．
C．
D．

8．已知f（x）=32x﹣（k+1）3x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，2
﹣1）

C．（﹣1，2
﹣1） D．（﹣2
﹣1，2
﹣1）

9.已知抛物线
的焦点为
，
关于原点的对称点为P．过
作
轴的垂线交抛物线于
、
两点．有下列四个命题：①
必为直角三角形； ②
不一定为直角三角形；③直线
必与抛物线相切； ④直线
不一定与抛物线相切．其中正确的命题是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

10. 如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设
为

A．
B．

C．
D．

11.已知定义在
上的函数

，当
时不等式

成立，若
，
，

，则
，
，
的大小关系是

A.
B.
C.
D.

12．已知定义在R上的函数
满足：
且
，
，则方程
在区间[-5，1]上的所有实根之和为

A． -7 B．-6 C． -5 D．-4

第II卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置.）

13．已知集合M＝{x|<0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N=________．

14.已知
是等差数列，
，
，则过点P (3 ，
) ，Q（ 4 ，
）的直线的斜率为_________.

15．在区间
内任取两个数，则这两个数的平方和也在
内的概率为　　 　　．

16．给出下列三个结论：

①命题“?x∈R，x2－x>0”的否定是“?x∈R，x2－x<0”；

②函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有3个零点；

③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f ′(x)<0，g′(x)<0，则x<0时，f ′(x)

④设随机变量
～
,若
，则
．

其中正确结论的序号是_____________．(填写所有正确结论的序号)

三、解答题:（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设a、b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg
在区间(－b,b)上有定义.

(1)求a的值；

(2)求b的取值范围；��

(3)判断函数f(x)在区间(－b,b)上的单调性,并说明理由.��

18. 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．

(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．

19. 如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

20.设向量a＝
，b＝
，θ为锐角．

(1)若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；

(2)若a∥b，求sin(2θ＋)的值．

21.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－.

(1)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；

(2)证明：对任意m，n∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．

22．选考题：从以下2题中选择1题做答，每题10分，若2题全做，则按第1题给分.

(A)（选修4—4 参数方程与极坐标）

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2 .

(1)求C1与C2交点的极坐标；

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．

(B)（选修4—5 不等式证明选讲）

已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求m的值；

(2)若a，b，c∈R，且＋＋ ＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

稿 纸

福州八中2015—2016学年高三毕业班第一次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

1．D　[解析] 对于选项A，函数y＝x－1的值域为R，函数y＝的值域为[0，＋∞)，值域不一样；对于选项B，两函数的定义域不同；对于选项C，两函数的定义域不同；只有选项D符合．

2. D [解析] 集合A中的元素是焦点在y轴上的椭圆上的所有点，集合B中的元素是指数函数
图象上的所有点，作图可知A∩B中有两个元素，所以A∩B的子集的个数是22=4个.

3．A [解析]　当a＝1时，B＝{x|－2

4．B　[解析]依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，解得m≤－2或m≥2.由p，q均为假命题得m≥2.

5. A

6.D [解析]
的展开式中含
的项为
，由题意得
，

所以
.

7. C

8．B

9.

10. B [解析]
，

同理向量
还可以表示为
，对应相等可得
， 所以
。

11. C [解析]函数
在R上单调递减，又

12．A [解析] 记
，
，则方程
在区间
上的根与方程
在区间
上的根相同.

令
，则有
，当
时，
，方程
，即
，
，在同一坐标系下画出函数
，
的图象与
，
的图象，结合图象不难得知，它们的图象共有三个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为
、
、
，则有
，
，

，
，因此方程
在区间
上的根的和等于
.

答案：[1,2)

14.答案：4 [解析]依题意，∵
是等差数列，
，
，∴
，设公差为d，则d=4，又

15.答案：

16.答案：③④ [解析]对于②,由y＝x与y＝sinx的图像可知，函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，∴x<0时，f′(x)<0，g′(x)>0.∴f′(x)

17. 解：(1)f(－x)=－f(x),即lg
,��

即
,整理得：1－a2x2=1－4x2,�ァ郺=±2.�ビ謅≠2,故a=－2.�ァ�………5分

(2)f(x)=lg
的定义域是(－
，
)，∴0

(3)f(x)=

∴函数在定义域内是单调递减的. ………………12分

18.解:(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．

∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为

y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x,x
…………6分

(2)由 (1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，

∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为

y＝＋6x＋594 ≥2＋594＝714.

当且仅当＝6x，即x＝10时，取得等号． …………11分

∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．………12分

19．解：(1)由得x2－4x－4b＝0(*)．

因为直线l与抛物线C相切，

所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，

解得b＝－1. …………………………5分

(2)由(1)可知b＝－1，

故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.

将其代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2，1)． …………8分

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2 ……11分

所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. …………………………12分

20.解：（1） 因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝． ………… 3分

所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝．

又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝． ……………… 6分

（2） 解法一 因为a∥b，所以tanθ＝2．　　　

所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝＝，

cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－．……… 10分

所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－ )＝． ……………… 12分

解法二 因为a∥b，所以tanθ＝2．…………… 8分所以 sinθ＝，cosθ＝．

因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－． …… 10分

所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×(－ )＝．…12分

21.解：(1)由f(x)＝xln x，可得f′(x)＝ln x＋1.

当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以函数f(x)在区间[1，3]上单调递增，又f(1)＝0，所以函数f(x)在区间[1，3]上的最小值为0.

………………4分

(2)证明：由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))在x＝时取得最小值，

又f()＝－，所以f(m)≥－. ………………6分

由g(x)＝－，可得g′(x)＝.

所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．

所以函数g(x)(x>0)在x＝1处取得最大值，又g(1)＝－，所以g(n)≤－. ………………11分

因为f(m)≥－≥g(n)，所以对任意m，n∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．………………12分

22.(A) （选修4—4 参数方程与极坐标）

解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，

直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

解得

所以C1与C2交点的极坐标为，. ………………5分

（注：极坐标系下点的表示不唯一）

(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，

故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

由参数方程可得y＝x－＋1，

所以解得a＝－1，b＝2 ………………10分

(B)（选修4—5 不等式证明选讲）

解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，

由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. ………………5分

(2)由(1)知＋＋