天水市一中2013级2015—2016学年度第一次考试试题

数学文（平行）

命题人：王传刚 王亚平 审核人：张硕光

一．选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上。）

1．若集合
则
中元素的个数为（ ）

A．3个 B．4个 C．1个 D．2个

2．设
，则
=（ ）

A．
B．1 C．2 D．

3．设
是两个单位向量，其夹角为
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列有关命题的说法错误的是（ ）

（A）命题“若
， 则
”的逆否命题为：“若
则
”

（B）“
”是“
”的充分不必要条件

（C）若
为假命题，则
、
均为假命题

（D）对于命题
使得
，则
均有

5．△ABC中，AB边的高为CD，若
，
·
=0，|
|=1，|
|=2，则
=（ ）

A、
B、
C、
D、

6．将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得到的图象关于
轴对称，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
的图象大致为（ ）

8．在等差数列
中，若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数

的图像如图所示，则函数
的解析式是（ ）

A．
B．

C．
D．

10.设
均为正数，且
，
，
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．设向量
满足
，若向量
满足
，则
的取值范围是（ ）

(A) [
-1,
+1 ] (B) [
-1,
+2 ] (C) [1,
+1 ] (D) [1,
+2 ] 1

12．已知直线y＝mx与函数
的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（ ）

A．（
，4） B．（
，＋∞） C．（
，5） D．（
，
）

二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分。把正确答案填在答题卡的相应位置。）

13．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）>1，f（2014）＝
，则实数a的取值范围是________．

14．已知三点
、
、
，则向量
在向量
方向上的投影为________

15．在
中，角
所对的边分别为
，
．则
=_______.

16．若等差数列
满足
，则当
时，数列
的前
项和最大．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。）

17．（本题满分10分）已知函数
的图像关于直线
对称，且图像上相邻两个最高点的距离为
.

（1）求
和
的值；

（2）若
，求
的值.

18.（本小题满分12分）已知函数
．

（1）求
的最小正周期；

（2）设
，求
的值域和单调递增区间．

19．（本题满分12分）在
中，已知
，记角
的对边依次为
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，且
是锐角三角形，求
的取值范围．

20．（本题满分12分）已知等差数列
满足：
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
．

21．（本题满分12分）已知
为实数，
.

（1）求导数
；

（2）若
是函数
的极值点，求
在区间
上的最大值和最小值；

（3）若
在区间
和
上都是单调递增的，求实数
的取值范围．

22．（本题满分12分）已知

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅲ）对一切的
，
恒成立，求实数
的取值范围．

数学考试答案

BDACD BCCCA AB

13.

14,

15．60度

16. 8

17. 【答案】（1）
；（2）

解：（1）因
的图象上相邻两个最高点的距离为
，所以
的最小正周期
，从而
.

又因
的图象关于直线
对称，所以

因
得

所以
.

（2）由（1）得

所以
.

由
得

所以

因此

=

18. 【答案】（1）
（2）
，
的递增区间为

【解析】

试题分析：（1）本题考察的三角函数的最小正周期，需要通过二倍角公式和辅助角公式可以把已知函数整理成
的形式，然后通过周期公式
，即可求出所求函数的最小正周期．

（2）本题考察的是正弦函数的值域和单调区间问题，由（1）知函数
的解析式，然后根据所给定义域求出
的取值范围，进而判断函数的最小值和最大值是多少，就可以求出函数的值域；然后把
代入到正弦函数的递增区间内，解出
的取值范围，就是所求函数的单调递增区间．

试题解析：（1）∵

的最小正周期为
．

（2）∵
，

，

∴
．

的值域为
．

当
递增时，
递增．

由
，得
．

故
的递增区间为
．

考点：正弦函数的周期性和单调性

19【答案】（1）
；（2）

【解析】

（1）依题意：
，即
，又
，

∴
，∴
，

（2）由三角形是锐角三角形可得
，即
由正弦定理得
得

，
（1）直接由已知等式及三角函数的诱导公式可得到
，再由同角三角函数的基本

关系即可求出角
的大小；（2）首先运用正弦定理可得
，
，然后代入
并运用

三角形内角和为
将其化简为关于角
的三角形式，再根据三角函数的图像及其性质即可得出所求的结果．

试题解析：（1）由条件结合诱导公式得，
从而
所以
，
，因为
，所以
．

（2）由正弦定理得：
，所以
，
，所以

，因为
，所以
，即
（当且仅当
时，等号成立）．

20. 【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．

试题解析：（Ⅰ）设
的首项为
，公差为
，则由
得
，解得
所以
；

（Ⅱ）由
得
．]

21.【答案】（1）
（2）

（3）

【解析】

试题分析：在求导函数时要注意，先将函数进行最简化形式，再进行求导，极值点即为导函数为0时，x的值，在区间里求最大最小值时，如果极值点在区间范围里，就需要将极值点以及区间最大最小的x值均带入原函数进行求解，对比找出最大最小值即可，将单调递增区间的中的-2,2带入导函数，且导函数大于0，（此为递增性质）列出方程组，解出k的范围即为最后小问答案。

试题解析：（1）
，

．

（2）由
，得

.

，

由
，得

或
．

又
，
，
，
，

在区间
上的最大值为
，最小值为
．

（3）
的图象是开口向上且过点
的抛物线.

由已知，得

，

的取值范围为
．

考点：函数性质的运用

22【答案】（Ⅰ）f（x）单调递减区间是（
，+
），f（x）单调递增区间是（0，
）

（Ⅱ）
， （Ⅲ）a
-2

【解析】

试题分析：先求出导数的正负确定单调性求出单调区间， 由f（x）单调递减区间是（
，+
），f（x）单调递增区间是（0，
）求出最值，
，设
，求出h（x）的最值 ，

试题解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）（ⅰ）0

（ⅱ）0

（ⅲ）

，即
时，
，

（Ⅲ）由题意: 2xlnx≤3x2+2ax-1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1

∵x∈（0，+∞），∴a≥lnx-
x-

设h（x）= lnx-
x-
x，在（0，+∞）上恒成立，

则

令
，得
（舍）

当
时，
；当
时，

当
时，
取得最大值，

=-2

．

考点：导数的应用。

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