嘉峪关市一中2015-2016学年高三第一次模拟考试

数学（文科） 2015.9

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.若集合
，
，则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
是虚数单位，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

3.在
中，
，
，
，则（ ）

A．
B．

C．
或
D．以上答案都不对

4.下列函数中，是偶函数，且在区间
内单调递增的函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设
,则（ ）

A．
B．
C.
D．

6.向量
满足
则向量
与
的夹角为（ ）

A．
　　　 B．
　　　　 C．
　　　　　　 D．

7. 已知
是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若
；　　②若
；

③如果
相交；

④若

其中正确的命题是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8.
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

　 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

9.已知命题
；
.以下命题为真命题的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S为（ ）

A．3 B． C． D．－2

11．若函数
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．函数
的零点个数为（ ）

　A．9　　　　　B．10 C．11 D．12

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若向量
，
，且
∥
，则实数
=

14.已知数列
为等差数列，
，
，则

15.函数
的定义域为

16．若函数
满足: （ⅰ）函数
的定义域是
； （ⅱ）对任意

有
；（ⅲ）
. 则下列命题中正确的是____ _. （写出所有正确命题的序号）

①函数
是奇函数； ②函数
是偶函数； ③对任意

，若
，则
； ④ 对任意
，有
.

三、解答题

17. (本小题12分) 已知
为锐角，且
，函数
，

数列
的首项
，
.

（1）求函数
的表达式； （2）求数列
的前
项和
.

18．（本小题12分）

如图，多面体
中，底面
是菱形，

，四边形
是正方形，且

平面
.

(Ⅰ)求证:
平面
；

(Ⅱ)若
，求多面体
的体积
.

组号

分组

频数

频率



第一组

[160,165)

5

0．050



第二组

[165,170)



0．350



第三组

[170,175)

30





第四组

[175,180)



0．200



第五组

[180,185]

10

0．100



合计



100

1．00



19．( 本小题12分) 某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：

（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔 试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定
，
，
的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：
椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2。

（1）求椭圆C的方程

（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问X轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分12分）

已知函数
，

（1）当
且
时，证明：对
，
；（2）若
，且
存在单调递减区间，求
的取值范围；

（3）数列
，若存在常数
，
，都有
，则称数列
有上界。已知
，试判断数列
是否有上界．

选考题：（本小题满分10分）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点

（1）求证：BD平分∠ABC

（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长

23. 已知某圆的极坐标方程为

（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（2）若点
在该圆上，求
的最大值和最小值．

24. 已知关于
的不等式

（1）当
时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数
的取值范围．

2016届高三第一次模拟考试答案

一、选择题

A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.C 9.C 10.C

11. D 12.D

二、填空题

13. -4 14. 2 15.
16.②③④

三、解答题

17、（Ⅰ）由
，---------2分

是锐角，
------------4分

----------------6分

（Ⅱ）
，
，----------------8分

,
,
是首项为
,公比
的等比数列,
- --------------10分

-------------12分

18.（本小题满分12分）

(Ⅰ)证明：

是菱形，
.

又
平面
，
平面
，
平面
.

……2分

又
是正方形，
.

平面
，
平面
，

平面
. ……4分

平面
，
平面
，
，

平面

平面
.

由于
平面
，知
平面
. ……6分

(Ⅱ)解：连接
，记
.

是菱形，
，且
．

由
平面
，
平面
，
.

平面
，
平面
，
，

平面
于
，

即
为四棱锥
的高. ……9分

由
是菱形，
，则
为等边三角形，由
，则
，

，
，
，
. ……12分

19. 解：（1）由频率分布表知
，
，
------------3分

因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组
人，第四组
人，第五组
人．

所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试。-----6分

（2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2，

第五组的1名学生为C1。则从6名学生中抽取2名学生有15种可能：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），

第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能。------9分

所以其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为
．

-----------12分

20. 解析：（1）由
，依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2,故a=3, 所以椭圆C的方程是

（2）设A（x1,y1）,B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2, 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去X得（4m2+9）y2+16my-20=0, y1+y2=
y1·y2=
,若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以KPA+KPB=0，设P（n,0）,则有
将x1=my1+2,x2=my2+2,代入得2my1y2+(2-n)(y1+y2)=0. 整理得(2n-9)m=0.由于上式对任意实数m都成立，所以n=
,综上，存在定点P（
，0），使PM平分∠APB。

21。解：⑴当
且
时，设
，
，
……1分，解
得
。

当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，所以
在
处取最大值，即
，
，
即
……4分

（2）若
，
=

所以

因为函数
存在单调递减区间，所以
在
上有解

所以
在
上有解

所以
在
上有解，即
使得

令
，则
，研究
，当
时，

所以
…………8分

（3）数列
无上界

，设
，
，由⑴得
，
，所以


，
，取
为任意一个不小于
的自然数，则
，数列
无上界。…………12分

22、（1）
又
切圆
于点
，

而
（同弧）

所以，BD平分∠ABC -------------5分

（2）由（1）知
，又
，

又