明德中学2016届高三年级第三次月考

数学（文科）试题 2015年10月

命题：刘建文 审定：彭琼洋 时量：120分钟 满分：150分

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.设
为虚数单位，则复数
= ( )

A．3 B.4 C.5 D.6

2．设集合
＝{－1,0,1}，
＝{
}，则
＝( )

A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}

3．“函数
在区间（0，＋∞）上为增函数”是“
=3”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为(　 )

A．50 B．60 C．70 D．80

5．已知向量
，向量

，且
，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．若抛物线
的焦点
与双曲线
的一个焦点重合，则
的值为( )

A．1 B．－1 C．2 D．4

7. △ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a＝b，A＝2B，则cos B＝(　　)

A. B. C. D.

8. 已知数列
是首项为
的等比数列，
是
的前
项和，且
，则数列
的前
项和
为 （ ）

A．
或
B．
或
C．
D．

9．设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A.
是偶函数 B.
是奇函数

C.
是奇函数 D.
是偶函数

10.曲线y＝x＋ln x在点(e2，e2＋2)处的切线在y轴上的截距为(　　)

A．1 B．－1 C．e2 D．－e2

11．数列1，，，…，的前n项和Sn=(　　)

A. B. C. D.

12．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题： (本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．已知函数
，则
的值为 ．

14．执行如下图的程序框图，那么输出
的值是　　 ．

15. 三棱锥
及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示,
，则棱
的长为　　 ．

16．已知函数
，在定义域内有且只有一个零点，存在
， 使得不等式
成立． 若
，
是数列
的前
项和．设各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数
的个数称为这个数列
的变号数，令
，则数列
的变号数是 .

三、解答题: (本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为
五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有
人．

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为
的人数；

（2）若等级
分别对应
分,
分,
分,
分,
分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（3）已知在本考场参加测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为
．在至少一科成绩为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为
的概率．

18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sin xcos＋cos2x＋sin 2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

19．（本小题满分12分）如图所示，正方形
和矩形
所在平面相互垂直，
是
的中点．

（1）求证：
；

（2）若直线
与平面
成45o角，求异面直线

与
所成角的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，左、右焦点分别为
，点
在椭圆C上，且
，
的面积为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）直线
与椭圆
相交于
，
两点．点
，记直线
的斜率分别为
，当
最大时，求直线
的方程．

21．（本小题满分12分）已知函数
，
，设
.

（1）若
在
处取得极值，且
，求函数
的单调区间；

（2）若
时,函数
有两个不同的零点
.求证：
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修４－４：坐标系与参数方程）

已知直线
的方程为
，曲线
的方程为
．

（1）把直线
和曲线
的方程分别化为直角坐标方程和普通方程；

（2）求曲线
上的点到直线
距离的最大值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）解不等式
；

（2）若存在实数
，使得
，求实数
的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC

的外接圆于F,G两点，若CF∥AB，证明：

(1) CD=BC;

(2)△BCD∽△GBD.

长沙市明德中学2016届高三第三次月考参考答案

数学试题（文科）2015年10月

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

C

C

A

B

A

D

A

B

A



12.【解析】在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，需满足区域
，而恰有两条线段的长大于1，需满足
或
或
，所以画出区域，恰有两条线段的长大于1的概率为
.

二、填空题： (本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．
14．
15．
16．3.

解析：（I）∵
在定义域内有且只有一个零点

当
=0时，函数
在
上递增

故不存在
，使得不等式
成立

综上，得

（II）由题设

时，

时，数列
递增

由
可知

即
时，有且只有1个变号数； 又

即
∴此处变号数有2个.

综上得数列
共有3个变号数，即变号数为3

三、解答题: (本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．【解析】（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，

所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}
,有6个基本事件

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则
．

18．【答案】（解：∵f(x)＝2sin xcos＋cos2x＋sin 2x

＝2sin x＋cos2x＋sin 2x

＝sin xcos x－sin2x＋cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，….. 6分

(I)f(x)的最小正周期为T＝＝π…………8分

(II)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

∴x∈ (k∈Z)，

∴f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．…………… 12分

19．【解析】

（1）证明：在矩形
中，

∵平面

平面
，且平面

平面

∴
且
平面
∴

（2）由（1）知：

∴
是直线
与平面
所成的角，即

设
，取
，连接

∵
是
的中点 ∴

∴
是异面直线
与
所成角或其补角

∵
，
，在
中，由余弦定理有：

∴ 异面直线
与
所成角的余弦值为
．

20．解析：（Ⅰ）因为
，所以
，点
在椭圆C上，且
，
的面积为
，所以
，解之
，所以椭圆方程为
5分

（Ⅱ）
与
联立解得:

,当且仅当
时，取得最值。

此时

21．【解析】

（1）因为
，所以
,由
可得a=b-3.

又因为
在
处取得极值，所以
，

所以a= -2,b=1 . 所以
，其定义域为（0，+
）

令
得
，

当
（0,1）时，
，当
（1,+
）
，

所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+
）上单调减.

（2）当
时，
，其定义域为（0，+
）.

①由
得