益阳市箴言中学2016届高三第二次模拟考试

理科数学试题

总分：150分钟 时量：120分钟

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．命题“
”的否定为

A．
B．

C．
D．

2.设
，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3、数列
的前n项和为
，若
，则

A．10 B．15 C．-5 D．20

4、一个几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是

A．
B．1

C．
D．

5．已知
且
，

则
的值为

A．
B．
C．
D．

6.已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为
则实数m等于

A、5 B、-2 C、1 D 、4

7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；

④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是

A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤

8．若方程
在
上有两个不相等的实数 根，则
的取值范围为A．（3，
） B．[3，
） C．[3，
] D．（3，
]

9．已知函数
，若存在非零实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、设函数
在区间
上的导函数
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”；

已知
在
上为“凸函数”，则实数m的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11．若
为奇函数，且
是
的一个零点，则
一定是下列哪个函数的零点 （ ）

A．
B．

C．
D．

12．已知函数
是定义在
上的增函数，函数
的图象关于点
对称，若任意的
,不等式
恒成立，则当
时，
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．计算
= ．

14、已知
若
，则
的最小值为

15、计算
=

16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AB，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧
上变动（如图所示）。若
，其中
的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分10分）已知函数
．

（1）求
的最小正周期和单调递减区间；

（2）若将
的图像向右平移
个单位，得到函数
的图像，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

18．（本小题满分10分）已知数列
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求适合方程
的正整数
的值。

19、 （本小题满分12分）如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为2的菱形，平面ABC
平面
，
.

（1）求证：
；

（2）已知点E是AB的中点，
，

求直线
与平面
所成的角的正弦值。

20、（本小题满分12分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数
来拟合该景点对外开放的第

年与当年的游客人数
（单位：万人）之间的关系.

（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数
所具有的性质；

（2）若
=
，试确定
的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；

（3）若
=
，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定
的取值范围．

21．（本小题满分13分）已知函数
．

（1）若
，求
的值域；

（2）若存在实数t，当
，
恒成立，求实数m的取值范围．

22．（本小题满分13分）已知函数
..

（Ⅰ）若
，求函数
的最大值；

（Ⅱ）令
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明
.

理科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．命题“
”的否定为 C

A．
B．

C．
D．

2.设
，则“
”是“
”的 B

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3、数列
的前n项和为
，若
，则
D

A．10 B．15 C．-5 D．20

4、一个几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积是 C

A．
B．1

C．
D．

5．已知
且
，

则
的值为（ B ）

A．
B．
C．
D．

6.已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为
则实数m等于A

A、5 B、-2 C、1 D 、4

7．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.

其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是（ ）

A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤

【答案】C

①中若a＝
，b＝
，则a＋b>1，故①不能；②中若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能；③能，④中若a＝b＝－2，则a2＋b2>2，故④不能；⑤中若a＝b＝－2，则ab>1，故⑤不能．∴只有③能，选C.

8．若方程
在
上有两个不相等的实数根，则
的取值范围为（）

A．（3，
） B．[3，
） C．[3，
] D．（3，
]

【答案】D

设
，由题意可知函数在
上与x轴有两个交点，需满足

9．已知函数
，若存在非零实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

函数
关于y轴的对称函数为
有解，即

10、设函数
在区间
上的导函数
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”；

已知
在
上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（ D ）

A．
B．
C．
D．

11．若
为奇函数，且
是
的一个零点，则
一定是下列哪个函数的零点 （ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】A

【解析】根据题意有
，所以
，而
，所以有
是函数
的零点，故选A．

12．已知函数
是定义在
上的增函数，函数
的图象关于点
对称，若任意的
,不等式
恒成立，则当
时，
的取值范围是（ C ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．计算
= ．

【答案】

函数
表示以（-2,0）为圆心，半径为1的圆的
的面积，故
=
.

13已知
若
，则
的最小值为

15、计算
=

16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AB，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧
上变动（如图所示）。若
，其中
的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分10分）已知函数
．

（1）求
的最小正周期和单调递减区间；

（2）若将
的图像向右平移
个单位，得到函数
的图像，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

17.（1）
，
（2）最大值为2，最小值为－1.

解 （1）

2分

.
4分

（2）由已知得
， 6分

，
，

故当
即
时，
；

故当
即
时，
， 8分

故函数g（x）在区间
上的最大值为2，最小值为－1. 10分

18．（本小题满分10分）已知数列
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求适合方程
的正整数
的值。

18．（Ⅰ）
（Ⅱ）100

试题解析：（Ⅰ）
时，
（2分）

时，
，

是以
为首项，
为公比的等比数列，
（4分）

（Ⅱ）
（6分）

（8分）

令
（10分）

19、 （本小题满分12分）如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为2的菱形，平面ABC
平面
，
.

（1）求证：
；

（2）已知点E是AB的中点，
，

求直线
与平面
所成的角的正弦值。

记直线
与平面
成角为
，则
12分

20、（本小题满分12分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数
来拟合该景点对外开放的第

年与当年的游客人数
（单位：万人）之间的关系.

（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数
所具有的性质；

（2）若
=
，试确定
的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；

（3）若
=
，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定
的取值范围．

20.解：（1）预测①：
在
上单调递增；

预测②：
对
恒成立； …………………3分

（2）将（1，100）、（2，120）代入到
中，得
，解得
.

因为
所以
，故
在
上单调递增，符合预测①；

又当
时，
所以此时
不符合预测②. …………………6分

（3）由
，解得
.因为
要想符合预测①，则
即
，从而
或
. …………………8分

（i）当
时，
，此时符合预测①，但由
，解得
，即当
时，
，所以此时
不符合预测②；